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원주율의 근사방법

원주율이란, 원에서 지름과 반지름의 길이비로 정의된다. 모든 원에서 이 값은 일정하며, 따라서 상수이다. 원주율이 무리수라는 증명은 이미 존재하는데, 이는 곧 원주율은 원을 하나 그리고, 원주와 반지름의 길이를 실측해서 나타낼 수 없음을 의미한다. 따라서 여타 다른 무리수, 이를테면 $\sqrt{2}$와 같이 $\pi$도 근사를 통해 그 값을 구해야 한다. #include #include #include #include #define BATCH 999999 #define WILL_TRY 1400000 #define SQUARE 14000 #define RND(M) rand()%M #define DOUBLE_SIZE sizeof(double) clock_t start_p, end_p; void approx..

유클리드 호제법과 디오판토스 방정식

일반적으로 두 자연수의 최대공약수를 구하기 위해 우리는 두 수를 소인수 분해한다. 예를 들어 두 자연수 $a$와 $b$가 있고 이들을 소인수 분해한 것이 $a=pq^2$이고 $b=p^2q$인 경우 두 수의 최대공약수 $g=pq$이다. 이때 $g=(a,b)=pq$로 쓸 수 있다. 이 방법은 분명 효과적이지만 두 수가 매우 큰 경우 그리 효과적인 방법은 아니다. 이 글에서는 두 수의 최대공약수를 구하는 다른 방법인 유클리드 호제법에 대해 다룬다. 유클리드 호제법 유클리드 호제법은 다음과 같은 정리이다. 두 자연수 $a$와 $b$가 있을 때 $a=bq+r$ ($q,r \in \mathbb{Z}$)라면 $(a,b)=(b,r)$이다. 이에 대한 증명은 다음과 같다. $(a,b)=G$라고 하고 $a=GA$, $b=..

일정한 차이가 나는 소수

이 글에서는 일정한 차이가 나는 소수들에 대해 탐구하여 본다. 조금 더 자세히는 다음 성질을 증명한다. 소수 $p$와 자연수 $d$에 대해 $p$, $p+d$, $p+2d$, $\cdots$, $p+(n-1)d$가 모두 소수일 때 $d$는 $n$보다 작은 모든 소수들로 나누어 떨어진다. 증명의 방법 위의 명제를 귀류법으로 증명할 것이다. 즉, $q$가 $n$보다 작은 어떤 소수일 때, $d$가 $q$로 나누어 떨어지지 않는다고 가정해보자. 완전잉여계 증명 증명은 우선 $p$, $p+d$, $p+2d$ $\cdots$ $p+(q-1)d$가 $q$에 대한 완전잉여계임을 보임으로 시작한다. 이는 귀류법으로 증명할 수 있다. 만일 위의 소수들이 $q$에 대해 완전잉여계가 아니라면 $0 \leq i < j \le..

화학의 평형

화학에서 평형이란, 정반응과 역반응의 속도가 같아 겉보기에는 아무런 변화가 일어나지 않는 상태를 말한다. 예를 들면 다음과 같은 용해평형이 있다. $\rm{NaCl_{(s)} \rightleftharpoons Na^{+}_{(aq)}+Cl^{-}_{(aq)}}$ 위 반응식은 염화소듐(NaCl)이 물에 용해되는 반응을 나타낸 화학식이다. 화살표가 양쪽으로 있는 것은 NaCl이 이온으로 용해되는 반응과 물속 이온이 염화소듐으로 석출되는 반응이 둘 다 일어나고 있음을 말한다. 이때 왼쪽물질에서 오른쪽 물질로 변하는 반응을 정반응, 그 반대를 역반응이라고 한다. 가역반응과 비가역반응 반응이 가역적(可逆過程, reversible process)이라는 것은 그 반응의 역반응이 존재하다는 뜻(정확히는 역반응이 충분히..

분할과 분배 Pt. 2

이전글 이전글에 이어서 이번 글에서는 나머지 2가지 경우에서 공을 상자에 나눠담는 경우를 생각해 볼 것이다. 이전글에서 이어지는 내용도 일부 있으니 파트 1을 먼저 읽고 오는 것을 추천한다. 이 글에서는 상자를 구분할 수 없는 경우에 대해 알아본다. 공을 구분할 수 없고 상자를 구분할 수 없는 경우 $n$개의 같은 공을 $k$개의 같은 상자에 빈상자를 허용하지 않으며 넣는다고 하자. $i$번째 상자에 들어가는 공의 개수를 $n_i$라고 하면 다음과 같은 식이 성립할 것이다. $n_1+n_2+\cdots+n_k=n$, 여기서 $(n_i \geq 1)$, $(i=1, 2, 3, \cdots, k)$ 즉, $n$을 $k$개의 자연수의 합으로 나타내는 경우의 수와 같으며 이를 $p(n,\:k)$라고 한다. 여기..

파장 - 맥놀이와 도플러 효과

파동은 특수한 상황에서 조금 다르게 보인다. 이 글에서는 여러개의 비슷한 파장의 파동이 여러개 모이거나, 파동의 근원이 움직이거나 하는 상황에서 일어나는 2가지 현상을 알아보겠다. 참고로, 이 글에서는 음파에 대해 다룰 것인데, 전자기파등에도 아래 법칙은 동일하게 적용된다. 맥놀이(Beat) 두개 이상의 진동수가 비슷한(즉, 파장이 비슷한)파동이 비슷한 장소에서 발생되면 맥놀이라는 현상이 발생된다. 이 현상이 발생되면 분명히 단순한 사인파임에도 소리의 크기가 변하는 것 처럼 들린다. 한번 예시를 들어보자. ffmpeg -f lavfi -i "aevalsrc=0.2*sin(2*PI*t*523)+0.2*sin(2*PI*t*523.5):duration=10" beat.wav 위 ffmpeg 명령어는 523Hz..

분할과 분배 Pt.1

다음글 분할과 분배는 기본적으로 전체를 여러개의 소부분으로 나누는 문제이다. 이를테면 $n$개의 과제를 $k$명이 나눠가지는 경우의 수이다. 분할과 분배는 종류에 따라 8가지로 나뉜다. 공을 상자에 나눠담을 때 1.공을 구분할 수 있는가 2.상자를 구분할 수 있는가 3.빈상자가 있어도 되나이다. 이 8개의 조건이 모여 총 8개의 부분경우를 만든다. 이 글에서는 이중 4가지만을 다루겠다. 공을 구분할 수 있고, 상자를 구분할 수 있는 경우 $n$개의 구분되는 공을 $k$개의 구분되는 상자에 넣는 경우를 본다. 만일 빈 상자를 허용하는 경우, $n$개의 공은 각각 $k$개의 상자로 들어갈 수 있으며, 이는 각각의 공이 $k$개의 선택지를 가지고 있음을 말한다. 즉, 곱의 법칙에서 $k^n$임을 알 수 있다...

혈액 - ABO 혈액

ABO혈액형은 우리가 흔히 말하는 A형, B형, AB형, O형이다. 이 글에서는 ABO혈액형과 각 혈액형의 특징과 유전. 마지막으로 돌연변이 혈액형에 대해 알아본다. 이 글에서는 ABO혈액형만 다룹니다. Rh혈액형은 여기를 참조해주세요. ABO 혈액형의 응집원과 응집소 ABO혈액형에는 응집원 A, 응집원 B, 응집소 α, 응집소 β가있다. 응집원은 항원의 역할을 하며 혈액 속 적혈구 표면에 있으며 응집소는 항체의 역할을 하며 혈액 속 혈장에 있다. 같은 타입의 응집원과 응집소가 만나게되면 항원-항체반응이 일어나서 혈액이 응집된다. 응집원 A는 응집소 α와 응집하고, 응집원 B는 응집소 β와 반응하여 응집한다. 다음은 각 ABO혈액형에 따른 응집원과 응집소의 유무이다. A형 B형 AB형 O형 응집원 응집원..

일반항과 점화식

< 등비수열과 등차수열 수열에는 일반항과 점화식이라는 개념이 있다. 이전 글을 보았으면 알겠지만 일반항은 수열의 항의 값을 항의 번호로 구하는 일반적인 식이며, 점화식은 구하고자 하는 항의 이전항들로 항의 값을 구하는 식이다. 그 글에서는 일반항과 점화식에 대해 자세히 알아본다. 등차수열과 등비수열의 일반항과 점화식 한 줄로 정리하자면 다음과 같다. ($a$: 일반항, $n$: 항의 번호, $d$: 공차, $r$: 공비) 일반항 점화식 등차수열 $S_n=a+(n-1)d$ $S_n=S_{n-1}+d$ 등비수열 $S_n=ar^{n-1}$ $S_n=rS_{n-1}$ 이미 이전 글에서 유도에 대해 설명했지만 이번에는 그냥 규칙을 찾는 것이 아니라 수학적으로 접근해보겠다. 점화식은 수열의 정의에서 당연하게 유도되..

등차수열과 등비수열

일반항과 점화식 > 이번 글에서는 수열 시리즈를 시작하며 가장 기본적인 등차수열, 등비수열에 대해 다룰 것이다 수열의 점화식과 일반항 수열이란 수의 나열이다. 예를 들면 $1, 2, 3, 4, 5 \cdots$는 자연수의 수열이며 $2, 3, 5, 7, 11, 13 ,17 \cdots$는 소수의 수열이다. 수열에는 항이라는 것이 있다. 항이란 수열의 몇 번째 수인지를 묻는 것이다. 예를 들어 수열 ${1, 2, 4, 8, 16, 32 \cdots}$의 제1항은 1, 제2항은 2, 제3항은 4이다. 수학적으로 쓰자면 수열 $a$의 $n$번째 항은 $a_n$으로 쓴다. 첫항의 경우 $a$로 쓸 수도 있다. 일반적으로 수열은 아무 의미없는 수의 나열이 아니라 일정한 규칙을 가지고 수를 나열한다. 그렇기 때문에..

경우의 수 - 경로의 수 Pt. 2

알림: 이 글은 경로의 개수 Pt. 1의 심화 내용입니다. 앞선 글을 이해하지 못한 상태로 이 글을 읽으시면 많이 어려우실 수 있습니다. 우리는 앞서 격자모양의 지도에서 최단거리를 구하는 방법을 탐구하였다. 이번에서도 특별한 경우에서 최단경로를 구해보자. 들어가기 먼저 이번 글에서 내내 다루게 될 한 개의 문제를 소개하겠다. 문제: 왼쪽과 같은 지도가 있다. A에서 B까지의 최단경로 중 푸른색 선분 위의 점을 통과하지 않는 경로의 개수를 구하여라 A점을 제외한 붉은색 선분 위의 점을 통과하지 않는 경로의 개수를 구하여라. 이번 글에서는 위의 문제만 다룰 것이다. 문제의 조건과 상황을 잘 이해하자. 예를 들면 1번의 경우 Fig1-1a와 같은 경로는 되는 경로이며 Fig1-1b와 같은 경로는 되지 않는 경..

생식 - 여성의 생식주기

차례 1. 여성의 생식기관 2. 여성의 생식 주기 1. 여성의 생식기관 Fig1-1은 여성이 가지고 있는 생식기관, 음문(Vulva)이다. 여성의 여성의 경우 생식기관 근처에 외부와 통하는 구멍이 3개가 존재한다. 각 구멍은 몸의 앞에서부터 요도, 질, 직장이라고 하며 순서대로 배설, 생식기관, 배출을 담당한다. 난소: 난소는 쉽게 설명하여 남성의 정소와 같은 역할을 한다. 난자를 형성하며, 여성호르몬(에스트로젠, 프로게스테론)을 분비한다. 자궁 양옆 좌우에 1쌍 있으며 월경 주기 동안 약 28일 주기로 좌우에서 번갈아 난자를 배출한다. 수란관: 수정이 일어나는 곳이다. 난소가 자궁으로 이동하는 경로되어준다. 자궁: 수정란이 착상되어 태아가 자라는 곳이다. 두꺼운 근육으로 되어 있다. 질: 정자를 받아들..

혈액 - Rh 혈액형

ABO 식 혈액형은 많이 친근할 것이다. A, B, O가 2개씩 쌍을 이루어 만드는 A(AA, AO) 형, B(BB, BO) 형, AB(AB) 형, O(OO) 형이다. 한편 혈액형에는 이 외 Rh 혈액형이 있다. 이 글에서는 이 Rh 혈액형에 대해 알아본다. 이 글에서는 Rh혈액형만을 다룹니다. ABO식 혈액형은 여기를 참조해주세요. Rh 혈액형을 만드는 요인 Rh 혈액형 자체는 D, C, c, E, e 등 50여 가지의 항원들에 의해 결정된다. 하지만 그중 면역반응을 가장 크게 일으키는 인자는 D이므로 Rh 혈액형은 다른 것보다 D에 집중하고 있다. 그래서 보통 Rh 혈액형이라 함은 $\rm{RhD^+}$, $\rm{RhD^-}$이다. Rh+ 혈액형 $\rm{Rh^+}$혈액형은 Rh 혈액형을 구성하는 ..

경우의 수 - 경로의 수 Pt. 1

차례 1. 경로의 수 문제 2. 최단경로의 개수(111 방법) 3. 최단경로의 개수(동자 순열의 활용) 4. 최단경로의 개수(조합의 활용) 5. 최단경로가 아닌 경로의 개수 6. 경로의 수의 활용 앞으로 여러 문제가 나올 것입니다. 그 문제마다 해설을 바로 보기보단 직접 생각해 보시기 바랍니다 :) 경로의 수 문제 수학 교과에서 다음과 같은 문제를 본 적이 있을 것이다. 문제: A에서 B까지 지도의 격자점만을 지나 이동하는 최단경로의 개수를 구하시오. 앞으로 경로의 수에서는 기본적으로 이렇게 생긴 문제를 가지고 조금씩 변형해가며 문제를 풀 것이다. 우선은 이렇게 생긴 문제의 해법에 대해 알아보자. 최단경로의 개수: 111 방법 이 방법은 가장 쉽고 간단한 방법이다. 일반적으로 생각했을 때, 최단경로로 이..

생물 - 인체의 소화과정

인간은 음식물을 섭취하여 에너지나 기타 필요한 유기물, 무기물을 얻게 된다. 우리는 여러 영양소와 그 외 몸이 흡수하지 못하는 부분도 포함하고 있는 음식물로부터 필요한 물질만 뽑아서 흡수하게 된다. 이 글에서는 물질대사의 기초라고 할 수 있는 인체의 소화에 대해 알아보겠다. 영양소 인간이 필요로 하는 물질은 참으로 많다. 물은 물론, 에너지를 만드는 탄수화물, 몸을 형성하는 단백질, 열을 보호하고 초과 에너지를 보관하는 지방이 있다. 다음은 3대 필수 영양소인 탄수화물, 단백질, 지방에 대한 설명이다. 구분 탄수화물 단백질 지방 구성 원소 $\rm{C}$, $\rm{H}$, $\rm{O}$ (탄소, 수소, 산소) $\rm{C}$, $\rm{H}$, $\rm{O}$, $\rm{N}$ (탄소, 수소, 산소,..

역학 - 원운동 Pt. 1

지구는 태양 주위를 돈다. 달은 지구 주위를 돌며 빠르게 회전하는 롤러코스터를 타면 몸이 바깥으로 쏠린다. 이는 모두 물체가 원운동을 하며 생기는 현상이다. 이 글에서는 원운동에 대해 알아보겠다. 인덱스 원운동을 하는 이유 원운동의 물리량 구심력과 구심 가속도 1. 원운동을 하는 이유 등속 운동을 하는 물체를 생각해보자. 외력이 주어지지 않는다면 이 물체는 영원히 같은 속도로 움직일 것이다(Fig 1a). 그렇지 않고 물체의 속도와 같은 방향으로 힘이 주어진다면 물체의 속력이 변화할 것이다(Fig 1b). 그것도 아니고 물체의 속도와 다른 방향으로 힘이 주어진다면 물체의 속도가 변화할 것이다(Fig 1c). Fig1-1c를 보면 힘 $\overrightarrow{F}$는 Fig1-2와 같이 수직성분과 수..

수학적 증명방법

어떠한 수학적 이론을 증명하는 데는 여러 방법이 있을 수 있다. 기존에 증명된 다른 사실을 연역하여 증명할 수도 있으며(직접 증명법), 대우를 이용하여 증명할 수 도 있다. 이 글에서는 수학적 사실을 증명하는 테크닉들을 소개하고자 한다. 잘 기억해두고 유용히 쓸 수 있도록 하자. 귀류법 수학 교과에서도 소개되는 방법이다. 원명제를 부정하여 새로운 명제를 세우고(Ex. "불은 뜨겁다"→"불을 뜨겁지 않다") 그 명제를 대전제로 하여 논리를 펼쳤을 때 논리에 모순이 생김을 보여 원명제가 사실임을 보이는 것이다. 다음은 귀류법을 이용하여 소수가 무한함을 보이는 과정이다. 증명하고자 하는 명제: 소수는 무한하다. 부정한 명제: 소수는 유한하다. 대전제에 따라 소수는 유한하므로 소수들로 이루어진 수열 $P$에서 ..

물리 - 전위

집에 들어와 스위치를 켜면 전등에 불이 켜진다. 충전기를 휴대폰에 꽂으면 충전이 되고 옷을 벗으려고 하자 정전기가 생긴다. 이 모든 현상은 전기가 만드는 현상이다. 이 글에서는 전하가 만드는 성질, 전위에 대해 알아본다. 전기장 중력을 가진 물체가 중력장을 만들듯이 전하를 가진 입자는 전기장을 형성한다. 전기장 속에서는 전기력이 존재할 수 있고 그 크기와 방향은 중심 전하에 따라 결정된다. 중심 전하가 양전하면 나가는 방향(발산하는 방향), 음전하면 들어오는 방향으로 생기게 된다. 전기장의 세기는 전기장 속의 한 전하가 받는 힘으로 구할 수 있으며 그리하여 전기장의 세기 $E=\frac{F}{q}$로 정의된다. $F$는 전하가 받는 힘, $q$는 전기장 속 전하의 전하량이다. 계산식에서 알 수 있듯, 전..

화학 - 이온과 이온반응

이 세계의 많은 원자들은 이온 상태로 전하를 띄어 다른 원자들과 상호작용한다. 그렇기 때문에 많은 과학에서 이온에 대한 이해는 필수적이라 할 수 있다. 이 글에서는 그러한 이온과 이온 반응에 대해 다룰 것이다. 이온 원자는 양성자, 중성자로 이루어진 핵과 전자로 이루어져 있다. 일반적으로 원자 안에는 +전하를 띄는 양성자와 -전하를 띄는 전자의 개수가 같아서 전기적으로 중성을 띤다. 하지만, 원자들은 옥텟 규칙(최외곽 전자 수가 꽉 차있는 원자가 가장 안정하다.)을 만족하려 하기 때문에 전자를 더 얻거나, 빼앗기는 방향으로 최외곽 전자를 꽉 채우려고 한다. 그렇게 양성자와 전자의 개수가 달라지고 원자는 전하를 띄게 된다. 이러한 방식으로 전기를 띄는 원자를 이온이라고 하며 원자에 윗 첨자로 이온이 되면서..

경우의 수 - 순열과 조합

순열(Permutation)과 조합(Combination)은 경우의 수를 계산하는데 쓰이는 가장 일반적인 방법이다. 순열이란 순열은 쉽게 말해 $n$명중에서 $r$명을 임의로 뽑아 일렬로 나열할 수 있는 경우의 수이다. 예를 들어 5명 중에서 3명을 임의로 뽑아 나열하는 경우가 순열이다. 순열은 $P$를 이용하여 표현하며 $n$명중 $r$명을 뽑아 나열하는 순열은 다음과 같이 계산한다. ${}_n\mathrm P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ 예를 들면 구분되는 5명 중에서 임의의 3명을 뽑아 줄 세우는 경우의 수는 ${}_5\mathrm P_3=\frac {5!}{2!}=60$가지이다. 참고로, ${}_n\mathrm P_r$은 $P(n, r)$로도 쓰며 모두 같은 의미이다. 조합이란 순열은..