일반항과 점화식

< 등비수열과 등차수열

수열에는 일반항과 점화식이라는 개념이 있다. 이전 글을 보았으면 알겠지만 일반항은 수열의 항의 값을 항의 번호로 구하는 일반적인 식이며, 점화식은 구하고자 하는 항의 이전항들로 항의 값을 구하는 식이다. 그 글에서는 일반항과 점화식에 대해 자세히 알아본다.

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등차수열과 등비수열의 일반항과 점화식

한 줄로 정리하자면 다음과 같다. ($a$: 일반항, $n$: 항의 번호, $d$: 공차, $r$: 공비)

	일반항	점화식
등차수열	$S_n=a+(n-1)d$	$S_n=S_{n-1}+d$
등비수열	$S_n=ar^{n-1}$	$S_n=rS_{n-1}$

이미 이전 글에서 유도에 대해 설명했지만 이번에는 그냥 규칙을 찾는 것이 아니라 수학적으로 접근해보겠다. 점화식은 수열의 정의에서 당연하게 유도되므로 일반항을 구하는 방법만 알아보겠다.

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등차수열의 점화식에서 일반항 유도

$\left|\begin{matrix}S_1=a+d\quad\;\\S_2=S_1+d\quad\\S_3=S_2+d\quad\\S_4=S_3+d\quad\\\vdots\\S_n=S_{n-1}+d\end{matrix}\right.$

위의 수열 $S$는 공차가 $d$인 등비수열의 각 항을 나열한 것이다. 이제 위 식의 좌변, 우변을 각각 모두 더해보면 다음과 같은 식이 나온다.

$S_1+S_2+S_3+S_4+\cdots+S_n$$=a+S_1+S_2+S_3+\cdots+S_{n-1}$$+(n-1)d$

$S_1+S_2+S_3+\cdots+S_{n-1}$이 양변에 공통적으로 있으니 소거시킬 수 있다. 그러면 다음과 같은 식이 나온다.

$S_n=a+(n-1)d$

그렇게 나온 이 식이 바로 일반항이다.

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등비수열의 일반항 유도

등비수열도 등차수열과 크게 다르지 않게 유도를 할 수 있다.

$\left|\begin{matrix}S_1=a\qquad\\S_2=S_1r\quad\\S_3=S_2r\quad\\S_4=S_3r\quad\\\vdots\\S_n=S_{n-1}r\end{matrix}\right.$

이제 좌변, 우변을 각각 곱해주면 다음과 같은 식이 나온다.

$S_1 S_2 S_3 S_4 \cdots S_n$$=a(S_1S_2S_3S_4\cdots S_{n-1})r^{n-1}$

양변이 모두 $S_1S_2S_3S_4\cdots S_{n-1}$을 가지고 있으므로 나누어주면 아래와 같은 식이 되며 이 식이 일반항이다.

$S_n=ar^{n-1}$

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점화식에서 일반항 구하기

이번 파트에서 다루고자 하는 궁극적인 목표는 점화식이 $S_n=aS_{n-1}+b$꼴인 수열의 일반항을 구하는 것이다.

설명을 쉽게 하기 위해 예제를 가지고 와보자.

저승은 망자를 생전의 업에 따라 환생을 시킬 수도 있고 지옥에서 영원한 형벌을 받도록 할 수도 있다. 점점 저승에서 형벌을 받는 망자가 증가하자 저승은 지옥의 넓이를 넓일 필요를 느끼고 다음 규칙을 만족하도록 지옥의 넓이를 넓일 예정이다. 2000년 후 지옥의 넓이는?
이번 년을 1년이라 할 때 $n$년의 지옥의 넓이를 $(3S_n-150) \rm{km^2}$이라고 한다. 이때 수열 $S$는 $S_n=3S_{n-1}-100$ 단 $n \geq 2$, $S_1=1500$를 만족한다.

 

문제를 풀어보자.

우선 지옥의 넓이 앞에 뭔가 상수가 붙어있지만 이건 중요한 게 아니니 일단은 $S_n$에 초점을 맞추어보자.

$S_n$의 점화식이 $S_n=3S_{n-1}-100$이므로 이 점화식으로부터 일반항을 구하야 2000번째 항을 구할 수 있을 것이다(점화식을 2000번 계산해서 항을 구할 수도 있겠지만 이건 출제자의 의도가 아니다).

---여기부터 중요하다---

1단계, 위 점화식을 $S_n+\alpha=(S_{n-1}+\alpha)r$처럼 생기게 변형해보자. $S_n=rS_{n-1}+\alpha(r-1)$$=3S_{n-1}-100$ 이 식에서 $r, \alpha$의 값을 구하면 될 것이다. 이 식은 항등식이므로 계수를 비교해주면 $r=3$, $r$을 대입해주면 $\alpha(3-1)=-100$ 따라서 $\alpha=-50$이다.

그러므로 주어진 점화식 $\left\{S_n=3S_{n-1}-100\right\}$$\;\rightarrow\;$$\left\{S_n-50=3(S_{n-1}-50)\right\}$으로 변형할 수 있다.

 

2단계, $S_n-50=a_n$이라고 하여 새로운 수열 $a_n$을 만들어보자. 이 수열을 1단계에서 구한 식에 대입하여 $a_n=3a_{n-1}$라는 등비수열을 만들 수 있다.

 

3단계, 앞서 구한 등비수열의 일반항을 구해보자. 수열 $a$의 첫항 $a_1=S_1-50$$=1500-50=1450$이다. 따라서 첫항과 등비를 이용해 일반항을 구해보면 $a_n=1450\times 3^{n-1}$이다.

 

4단계, 마지막으로 앞서 구한 일반항에 수열 $S$에 관한 식 $S_n-50=a_n$을 대입하자. 그럼 $S_n-50=1450+3^{n-1}$, $S_n$에 관한 식으로 변형하면 $S_n=1450 \times 3^{n-1}+50$이다.

 

따라서 수열 $S_n$의 일반항은 $S_n=1450 \times 3^{n-1}+50$이다.

---여기까지 중요하다---

따라서 $S_{2000}=1450 \times 3^{1999}+50$, 지옥의 넓이와 수열 $S$의 관계를 이용해 지옥의 넓이를 구하면 지옥의 넓이는 $(1450 \times 3^{2000})\rm{km^2}$이 된다.

 

참고로 $S_n+\alpha=r(S_n+\alpha)$처럼 생긴 식을 특성 다항식이라고 한다.

 

위 문제의 답을 실제로 계산하면 $2.534 \times 10^{960}$정도이다. 이렇게 답이 크거나 복잡해서 계산하기 어려운 경우에는 굳이 계산을 하지 않아도 되고 식의 형태로 답을 써도 된다.

 

 

일반화를 통해 이해를 확실히 해보자. 점화식이 $S_n=aS_{n-1}+b$인 수열 $S$의 일반항을 구해보자.

$S_n+\alpha=a(S_{n-1}+\alpha)$와 $S_n=aS_{n-1}+b$이 같은 식이 되도록 $\alpha$의 값을 구하자. 계수 비교를 통해 $\alpha(a-1)=b$이므로 $\alpha=\frac{b}{a-1}$이다.

$\alpha$를 대입하면 $S_n+\frac{b}{a-1}=a(S_{n-1}+\frac{b}{a-1})$.

$P_n=S_n+\alpha$인 수열 $P$를 정의하여 앞서 구한 식에 대입하면$P_n=aP_{n-1}$인 등비수열이 나온다.

이 등비수열의 첫항 $P_1=S_1+\frac{b}{a-1}$이므로 등비수열의 일반항을 $P_n=(S_1+\frac{b}{a-1})a^{n-1}$으로 구할 수 있다.

이제 $P_n$을 $S_n$에 관한 식으로 대입해주면 $S_n+\frac{b}{a-1}=(S_1+\frac{b}{a-1})a^{n-1}$, 마지막으로 이항을 해주면 $S_n=(S_1+\frac{b}{a-1})a^{n-1}-\frac{b}{a-1}$가 되며 이 식이 바로 일반항이다.