파장 - 맥놀이와 도플러 효과

파동은 특수한 상황에서 조금 다르게 보인다. 이 글에서는 여러개의 비슷한 파장의 파동이 여러개 모이거나, 파동의 근원이 움직이거나 하는 상황에서 일어나는 2가지 현상을 알아보겠다. 참고로, 이 글에서는 음파에 대해 다룰 것인데, 전자기파등에도 아래 법칙은 동일하게 적용된다.

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맥놀이(Beat)

두개 이상의 진동수가 비슷한(즉, 파장이 비슷한)파동이 비슷한 장소에서 발생되면 맥놀이라는 현상이 발생된다. 이 현상이 발생되면 분명히 단순한 사인파임에도 소리의 크기가 변하는 것 처럼 들린다. 한번 예시를 들어보자.

ffmpeg -f lavfi -i "aevalsrc=0.2*sin(2*PI*t*523)+0.2*sin(2*PI*t*523.5):duration=10" beat.wav

위 ffmpeg 명령어는 523Hz와 523.5Hz의 진동수를 가진 사인파를 간섭시키는 명령어이다. 이 명령어의 실행결과는 다음과 같다.

523Hz와 523.5Hz의 0.5Hz차이 맥놀이

아래 Fig1은 맥놀이에 대한 이래를 돕기 위해 진동수가 각각 5Hz, 6Hz인 두 파동의 사인파를 그린 것이다.

Fig 1. 두개의 진동수가 비슷한 파동

그런데 이 둘 파동은 서로 간섭현상을 일으켜서 아래 Fig2와 같은 파동을 만들게 된다. Fig2의 녹색파동은 진폭이 커졌다 작아졌다를 반복하는데, 이가 소리의 크기변화로 들리는 것이다.

Fig 2. 두 파동의 간섭 결과

실제로 위 예시의 파동은 Fig3과 같이 생겼다.

Fig 3

두 진동수가 비슷한 사인파가 동시에 재생되었을 뿐인데 진폭이 변화하는 기묘한 파동이 나왔음을 볼 수 있다.

맥놀이가 생길때, 맥놀이 진동수 $f_b$는 다음과 같이 구한다.

$f_b=\left | f_2-f_1 \right |$

즉, 위의 예시의 경우, 맥놀이의 진동수가 0.5Hz인 것이다. 참고로, 맥놀이는 엄연한 간섭현상이기 때문에 간섭현상에서의 성질이 그대로 적용된다. 맥놀이파의 최대 진폭은 원래 파동의 피크진폭의 합이고, 최소진폭은 영이다.

맥놀이는 악기의 조율에 사용되는데, 조율시에 조율하고자 하는 악기의 파동과 어떤 음에 기준파동의 맥놀이를 보아, 맥놀이가 생기지 않을 때, 즉 두 파동의 진동수가 같을 때를 알 수 있다.

 

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도플러 효과(Doppler Effect)

만일 파동을 내는 "파원"이나 파동을 관측하는 "관측자"가 움직이는 경우 파동이 관측되는 모습이 바뀌기도 한다. 이를 도플러효과라고 한다. 한번 예시를 들어보겠다.

위 동영상에서 사이렌을 울리는 엠뷸런스는 일정한 속도로 관측자를 지나 움직이고 있다. 이때 엠뷸런스가 관측자를 지나는 순간 사이렌소리가 낮게 들리는걸 알 수 있다. 즉, 주파수가 낮아지는 것처럼 느껴지는 것이다.

도플러효과는 2가지 경우로 나누어 생각할 수 있다. 각각의 경우에 대해 식을 유도해보자.

1: 파원이 움직이고, 관측자가 정지한 경우

 

Fig 4, 파원이 움직이고, 관측자가 정지한 경우

소리의 속력를 $v$라고 하면 $v=f \lambda$가 성립한다. 소리의 파장 $\lambda=\frac{v}{f}$이다. 이때 파원이 $v_s$의 속도로 관측자를 향해 다가오면 파원의 움직임으로 인한 파동의 감소량은 $\lambda_s =\frac{v_s}{f}$이다. 즉, 관측자가 들리는 파동의 파장은 $\lambda_o=\lambda-\lambda_s=\frac{v-v_s}{f}$이다. 이때, $f_o=\frac{v}{\lambda_o}$이므로 $f_o=f\frac{v}{v-v_s}$이다.

$f_o=f\frac{v}{v-v_s}$  ($v_s$: 파원이 관측자를 향해 이동하는 속도, $v$: 소리의 속력, $f_o$: 관측자가 듣는 진동수, $f$: 원래 진동수)

 

2: 파원이 정지하고, 관측자가 움직이는 경우

관측자가 움직이는 경우 관측자가 추가로 감지하는 파면의 수는 $\frac{v_ot}{\lambda_s}$개이다. 즉, 변화하는 진동수는 추가로 감지한 파면의 수를 $t$로 나눈 $\frac{v_o}{\lambda_s}$이다. 즉, 관측자가 듣는 진동수 $f_o=f+\frac{v_o}{\lambda_s}=f\frac{v+v_o}{v}$이다. 여기서 소리의 속도는 $v$이고, $v_o$는 관측자가 파원으로 다가가는 속도, $f$는 파원이 내는 소리의 진동수이다.

$f_o=f\frac{v+v_o}{v}$ ($v_o$: 관측자가 파원을 향해 이동하는 속도, $v$: 소리의 속력, $f_o$: 관측자가 듣는 진동수, $f$: 원래 진동수)

 

앞서 유도한 식을 잘 생각해보면 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다.

$f_s=f\frac{v+v_o}{v-v_s}$  ($v_o$: 관측자가 파원을 향해 이동하는 속도, $v_s$: 파원이 관측자를 향해 이동하는 속도, $v$: 소리의 속력, $f$: 관측자가 듣는 진동수, $f$: 원래 진동수)

이 식을 사용할때는 부호를 매우 유의하여 사용해야 한다. 소리의 속력은 항상 양수로 대입하며, $v_s$는 파원이 관찰자를 향해 움직일 때 양수, 파원이 관찰자로부터 멀어질 때 음수이다. 같게 $v_o$는 관찰자가 파원을 향해 다가갈 때 양수, 멀어질 때 음수이다.

 

도플러효과의 대표적인 예시가 "적색편이"와 "청색편이"이다. 빛을 내는 항성이 관측자(지구)로부터 멀어지면 파장이 길어지는 효과가 발생되어 가시광선중 장파에 속하는 적색으로 관측되는 현상이 적색편이이며, 항성이 지구에게 다가오면 파장이 짧아지는 효과가 생겨 가시광선중 단파에 속하는 청색으로 관측되는 현상이 청색편이이다.

물론 적색편이와 청색편이에는 도플러 효과 외에도 중력장의 영향도 있긴 하다.