등차수열과 등비수열

일반항과 점화식 >

이번 글에서는 수열 시리즈를 시작하며 가장 기본적인 등차수열, 등비수열에 대해 다룰 것이다

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수열의 점화식과 일반항

수열이란 수의 나열이다. 예를 들면 $1, 2, 3, 4, 5 \cdots$는 자연수의 수열이며 $2, 3, 5, 7, 11, 13 ,17 \cdots$는 소수의 수열이다.

수열에는 항이라는 것이 있다. 항이란 수열의 몇 번째 수인지를 묻는 것이다. 예를 들어 수열 ${1, 2, 4, 8, 16, 32 \cdots}$의 제1항은 1, 제2항은 2, 제3항은 4이다.

수학적으로 쓰자면 수열 $a$의 $n$번째 항은 $a_n$으로 쓴다. 첫항의 경우 $a$로 쓸 수도 있다.

 

일반적으로 수열은 아무 의미없는 수의 나열이 아니라 일정한 규칙을 가지고 수를 나열한다. 그렇기 때문에 그 규칙을 수학적으로 쓸 수 있어야 하는데 그것이 바로 일반항과 점화식이다.

일반항이란, 수열의 첫항, 상수, 항으로 수열의 항을 나타내는 것이다. 예를 들어 수열 $a=[1, 2, 4, 8, 16, 32 \cdots]$의 일반항은 $a_n=1 \times 2^{n-1}$이다. 중요한 것은 일반항은 같은 수열의 다른 항을 이용할 수 없다.

점화식이란 같은 수열의 다른 항과 상수, 첫항을 이용하여 항을 나타내는 것이다. 예를 들어 $a=[1, 2, 4, 8, 16, 32 \cdots]$의 점화식은 $a_n=1\times 2\times a_{n-1}$이다. 점화식을 쓰는 경우 반드시 첫항과 점화식이 적용되는 범위를 정해야 한다. 위의 예시에서는 $a_1=1$, $n \geq 2$라고 써줘야 한다.

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등차수열

등차수열은 인접한 항끼리의 차가 일정한 수열이다. 설명이 장황하지만 예시를 들면 다음은 모두 등차수열이다.

$[1,2,3,4,5,6,7 \cdots]$ - 차가 1로 일정
$[1,4,7,10,13,16,19 \cdots]$ - 차가 3으로 일정
$[1,0,-1,-2,-3,-4,-5 \cdots]$ - 차가 -1로 일정

등차수열에는 첫항과 공차라는 것이 있다. 첫항은 수열에서 알아봤던 첫항($a_1$)과 같고, 공차란 인접한 항 사이의 차이$d=(a_{n}-a_{n-1}$)이다. 부호는 유지한다.

이때 조금만 생각하면 등차수열에 대해 다음 일반항과 점화식이 성립함을 알 수 있다.

$a$가 첫항, $d$가 공차일 때 $n$번째 항 $a_n$에 대해
일반항: $a_n=a+(n-1)d$
점화식: $a_n=a_{n-1}+d$

간단하게 위 식을 설명하면 공차의 정의가 $d=a_{n}-a_{n-1}$이므로 이를 적당히 이항 하면 점화식 $a_n=a_{n-1}+d$이 나온다.

또한 $a_1=a$, $a_2=a+d$, $a_3=a+2d$ $\cdots$ $a_n=a+(n-1)d$임을 확인할 수 있다(규칙을 이용).

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등비수열

등비수열은 인접한 항끼리의 비가 일정한 수열이다. 즉, 다음과 같은 관계를 만족하는 수열이다.

$\frac{a_n}{a_{n-1}}=$일정

등차수열의 공차와 같게, 등비수열에서도 일정히 유지되는 비를 공비($r$)이라고 한다. 따라서 등비수열은 항상 $a_{n}=a_{n-1}r$을 성립한다고 볼 수 있다.

등비수열의 점화식과 일반항은 다음과 같다.

첫항이 $a$, 공비가 $r$인 등비수열의 $n$번째 항 $a_n$에 대해
일반항: $a_n=a \times r^{n-1}$
점화식: $a_n=a_{n-1}r$

등차수열의 일반항과 점화식을 유도하는 방법을 이해했으면 위 식도 같은 논리로 유도할 수 있다.

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수열의 합

등차수열의 합

등차수열의 합을 구하는 방법에 대해서는 재밌는 이야기가 하나 있다.

1786년, 독일의 한 초등학교에서 선생님이 문제를 냈다.
1부터 100까지의 모든 자연수의 합을 구하여라.
선생님은 계산에 시간이 꽤 걸릴 것이라고 생각하고 좀 쉬려고 하던 찰나, 가우스가 손을 들고 답을 말했다.
정답은 5050입니다.
너무나 빨리, 그리고 정확히 나온 정답에 선생님은 깜짝 놀랐다.
지금부터 설명할 방법은 가우스가 10살 때 이 문제를 풀기 위해 고안한 계산방법으로 가우스의 덧셈이라고도 한다.

한번 가우스가 문제를 푼 방법대로 문제를 풀어보자.

우선 이 수열의 각 항을 나열해보고 그 아랫줄에 수열의 마지막 항부터 거꾸로 나열한다.

$\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&\cdots1번째 줄\\100&99&98&97&96&\cdots2번째 줄\end{bmatrix}$

1번째 줄의 각 항의 합과 2번째 줄의 각 항의 합은 당연히 같을 것이다(단순히 더하는 순서만 바꾸었기 때문에).

그럼 1번째 줄과 2번째 줄의 같은 위치에 있는 수를 각각 더하여 한 개의 수열로 바꾸어보자.

위 그림에서 보라색으로 묶인 수들끼리 계산돼서 아래의 수열을 이룬다. 이제 모든 항이 101인 항 100개로 이루어진 새로운 수열이 만들어졌다. 이 수열의 합은 $101 \times 100$, 즉 10100이다.

그런데 만약 최종적으로 구하고자 하는 수열의 각 항의 합이 $S$일시 방금 구한 수열의 합은 $2S$일 것이다. 왜냐하면 원래 수열과 뒤집은 수열을 서로 더함으로써 모든 항의 합이 $S+S$인 수열을 만들고 이의 합을 구했기 때문이다. 그렇기 때문에 $10100=2S$, $S=5050$이다.

더하여 구한 수열의 합은 $2S$가 된다.

지금까지의 계산과정을 일반화해보자. 일반항이 $a_n=a+(n-1)d$인 등차 수열이 있다. 이 수열의 $n$번째 항까지의 합을 구해보자.

이 수열과 이 수열을 거꾸로 쓴 수열의 같은 항끼리 더해주면 그 합은 $(2a+(n-1)d)$로 같을 것이다.

왜냐하면 더하게 되는 두 항은 $a_x+a_{n-x+1},\;0\leq x\leq n$인데 이 각 항에 일반항을 대입하여 정리해주면 $\{a+(x-1)d\}$$+[a+\{(n-x+1-1)d\}]$$=2a+(x-1+n-x+1-1)d$$=2a+(n-1)d$이기 때문이다.

이렇게 값이 같은 항이 제1항부터 제 $n$항까지 $n$개가 있으므로 앞서 구한 항끼리의 합에 n을 곱해주면 $n\{2a+(n-1)d\}$가 된다. 이 합은 우리가 구하고자 하는 값을 두 번 더한 것이기 때문에 여기까지 구한 합을 2로 나누어 주면 $\frac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}$가 된다.

따라서 일반적으로 다음과 같이 정리된다.

등차수열 $a$에 대해 $a_1$부터 $a_n$까지의 합은
$\frac{n(a_1+a_n)}{2}$ 또는 $\frac{n\{2a+(n-1\}d)}{2}$
이다. ($a$: 첫항, $d$=공차, $n$: 항 번호)

위 방법으로 1부터 1000까지 자연수의 합을 구해보면 첫항은 1, 공차는 1, 항은 1000개이므로 위의 공식에 대입을 해보면 $S=\frac{1000\{2+((1000-1)1)\}}{2}$$=500\times 1001$$=500500$임을 알 수 있다.

 

 

등비수열의 합

등비수열은 일반항이 $a_n=a \times r^{n-1}$인 수열로 정의된다. 등비수열 $a$의 $n$번째 항까지의 합을 $S$라고 두고 $S$를 구해보자.

우선 등비수열의 항을 쭉 쓰고 그 위에 각 항에 $r$을 곱한 항을 쓴다.

$\begin{bmatrix}a_1r&a_2r&a_3r&a_4r&a_5r&\cdots1번째 줄(합=Sr)\\a_1&a_2&a_3&a_4&a_5&\cdots2번째 줄(합=S)\end{bmatrix}$

이제 윗줄의 합에서 아랫줄의 합을 빼줄 것이다. 그럼 $S(r-1)$$=a_1r+a_2r+a_3r+a_4r+a_5r\cdots$$-a_1-a_2-a_3-a_4-a_5 \cdots$가 된다.

이때, 등비수열의 점화식에서 $a_n=a_{n-1}r$이므로 $a_1r=a_2,\;a_2r=a_3,\;a_3r=a_4\cdots$이다. 따라서 위 식에서 소거되는 항이 꽤 있음을 알 수 있다.

같은 항을 소거해주면 $S(r-1)=a_nr-a_1$, 일반항을 대입해주면 $S(r-1)=(a^{r-1}r-a)$, $S(r-1)=a(r^n-1)$이다.

마지막으로 $r-1$을 양변에서 나누어주면 $S=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$이다. 

하지만, 중등 수학을 제대로 공부했다면 "만약 $r=1$이면 어떡하지"? 라는 생각이 들었을 것이다. $r=1$이면 분모에 0이 들어가서 0으로 나누게 되는 대참사가 벌어지기 때문이다. 그렇기 때문에 $r=1$인 경우, 즉 공비가 1인 경우를 따로 생각해봐야 한다.

만약 공비가 1인 경우 등비수열은 $\left[a, a, a, a, \cdots \right]$가 되며 따라서 당연히 첫항에서 $n$번째 항까지의 합은 $a$를 $n$번 곱하므로 $S=an$이다.

 

일반적으로 다음과 같이 정리된다.

등비수열 $a$에 대해 $a_1$부터 $a_r$까지의 합은
1. $r\neq 1$인 경우 $S=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$이며
2. $r=1$인 경우 $S=an$이다.
($a$: 첫항, $r$: 공비, $n$: 항 번호)