기하

구의 부피를 어떻게 구할까?

중학교 1학년에서는 다음과 같이 구의 부피와 겉넓이를 구하는 방법을 배워요. 반지름이 $r$인 구에 대해 그것의 부피는 $\frac{4}{3}\pi r^3$이며, 겉넓이는 $4\pi r^2$이다. 교과서에서는 이것에 대한 수학적 증명 대신 물을 이용해 실험적으로 부피를 구하여 이것이 공식의 값과 매우 근사함을 보여요. 하지만 이런 증명은 전혀 수학적이지 않지요. 이번에는 중학교 수준에서 구의 부피와 겉넓이를 구하는 방법을 알아볼 거예요. 핵심 아이디어. 카발리에리의 원리 두 평행선 $l$과 $m$이 있고 두 꼭짓점은 $l$ 위에, 다른 한 꼭짓점은 $m$ 위에 있는 삼각형 $\triangle \mathrm{ABC}$를 생각해봐요. 이제 직선 $l$, $m$은 가만히 두고 $\mathrm{A}$를 움직여봐..

3차원을 2차원으로 옮기기 - 멀어진 물체는 어떻게 보일까?

가장 먼저 고려해야 할 것은 "물체가 멀어지면서 어떻게 보일까?"이다. 우리는 경험적으로 멀리 있는 물체는 작게 보임을 안다. 물론 가까이서 보면 크게 보인다. 하지만 정확히 얼마나 크고, 얼마나 작게 보일까? 멀리 볼수록 얼마나 넓게 볼 수 있을까? 위 이미지는 2차원 세상에서 눈이 볼 수 있는 시야를 나타낸 것이다. 눈은 빨간색 점선 안의 것을 볼 수 있으며, 그 바깥의 것은 시야에서 벗어나기 때문에 볼 수 없다. 파란색 선들은 특정한 거리에서 눈이 볼 수 있는 최대 시야를 나타낸 것이다. 가령 눈에서 $d_0$만큼 떨어진 곳에서는 $l$만큼의 시야를 가진다. 이때 삼각형의 닮음을 사용하면 $l$과 $s$ 사이의 관계를 알 수 있다. $\mathrm{\triangle OAB \sim \triangle..

물체의 충돌로 원주율 근사하기

원주율은 지름과 원주가 이루는 비로 그 값은 대략 다음과 같다. $\pi$=3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679 원주율은 무리수이기 때문에 정확한 값을 구할 수는 없고 그 값을 근사해서 사용하는 것이 일반적이다. 근사에는 바젤 문제, 라이프니츠 공식 등 수학적인 방법으로 원주율을 유도하는 방법을 사용한다. 그런데 물리학을 이용해서 물체의 충돌로 원주율을 근사하는 방법이 있다. 질량이 1kg인 물체 A를 준비하고 한쪽에는 벽을, 다른 한쪽에는 질량이 $100^{n}$인 물체 B를 가져다 놓는다. 그리고 물체 B를 A쪽으로 운동시켜 벽과 두 물체가 완전탄성충돌하게..

삼각형의 넓이를 구하는 8가지 방법

삼각형은 평면 기하에서 매우 기본적인 도형이다. 그만큼 많은 정리들이 있기도 하다. 이 글에서는 이 삼각형의 넓이를 구하는 여러 방법과, 그 증명에 대해 알아본다. 1. 밑변과 높이를 알 때 $S=\frac{1}{2}ah$ 가장 일반적인 삼각형의 넓이 구하는 방법이다. 증명은 생략한다. 2. 두 변과 끼인 각을 알 때 $S=\frac{1}{2}ab \sin\theta$ 이때 높이는 $b\sin\theta$이기 때문에 삼각형의 넓이는 (1)의 방법에 따라 $\frac{1}{2}ab\sin\theta$이다. 3. 정삼각형의 한 변의 길이를 알 때 $S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ $\triangle ACH$가 $\angle AHC=90^{\circ}$, $\angle ACH=60^{\circ}$..

원주율의 근사방법

원주율이란, 원에서 지름과 반지름의 길이비로 정의된다. 모든 원에서 이 값은 일정하며, 따라서 상수이다. 원주율이 무리수라는 증명은 이미 존재하는데, 이는 곧 원주율은 원을 하나 그리고, 원주와 반지름의 길이를 실측해서 나타낼 수 없음을 의미한다. 따라서 여타 다른 무리수, 이를테면 $\sqrt{2}$와 같이 $\pi$도 근사를 통해 그 값을 구해야 한다. #include #include #include #include #define BATCH 999999 #define WILL_TRY 1400000 #define SQUARE 14000 #define RND(M) rand()%M #define DOUBLE_SIZE sizeof(double) clock_t start_p, end_p; void approx..