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미분과 물리

미분은 뉴턴이 자신의 수학이론을 완성시키기 위해 처음 만든 개념이다. 이 글에서는 미분을 하는 방법보다는 그 자체에 집중해서 과학, 특히 물리학에서 응용하는 방법에 대해 이해해본다. 미분이란? 과학에서는 연속적으로 변화하는 무언가를 분석할 필요가 있다. 변화에 집중해보자. 예를 들어 등가속도 운동을 하는 물체는 다음과 같은 시간-변위 그래프를 가진다. 중3 때 배웠겠지만, 여기서 변위는 시간에 대한 이차함수이다. 시간을 $t$, 변위를 $x$로 해보자. 그래프 위의 두 점을 잡고, 그 선을 잇는 선분을 그어보자. 이때 선분의 기울기는 $\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}$이다. 즉, 변위 변화를 시간 변화로 나눈 것으로 이는 다음과 같이 쓸 수 있다. $\frac{\Delta x}{\Delta t..

영재학교 모의고사 1 - SSMT

Science School Mock Test 1 시험지 —— 안내 —— 위 문제는 영재학교 입학시험의 스타일에 따라 제가 직접 출제한 문제입니다. 총 5문제, 각 문제에는 3개의 소문제가 있습니다. 시험지는 문제지 5 페이지, 답안지 6페이지, 연습지로 이루어져 있습니다. 시험시간은 100분입니다. 모든 시험지는 A3 크기입니다. 인쇄시에는 양면인쇄합니다. —— 응시 유의사항 —— 서술형 답안지는 흑색 연필 또는 흑색 볼펜으로 작성합니다. 답안 수정은 지우개 사용 또는 두 줄 긋고 답안을 작성합니다. 답안지에 불필요한 표시를 하지 마세요. 연습지는 1장 주어지나 필요한 경우 더 요청할 수 있습니다. 연습지에 작성한 내용은 채점하지 않습니다. 답안지의 공간이 부족한 경우 답란에 "뒷면에 계속"이라고 적고,..

카탈란수의 활용

이전 글 이전 글에서 카탈란 수는 적당한 대응을 통해 많은 문제를 푸는 데 사용할 수 있다고 하였다. 그 문제들의 목록은 다음과 같다. 경로의 수 문제 다각형 나누기 문제 이진트리 문제 괄호 열고 닫기 문제 입출력 문제 한 요소가 다른 요소보다 항상 크게 유지하는 문제 이 글에서는 각 문제를 카탈란 수에 대응시키는 방법에 대해 알아보겠다. 1. 경로의 수 문제 이 문제는 이전 글에서 다루었으니 넘어가겠다. 설명 2. 한 요소가 다른 요소보다 항상 크게 유지하는 문제 같은 개수의 X와 Y를 활용해 만드는 단어 중 단어의 처음에서 X와 Y의 개수를 셌을 때 항상 X의 개수가 Y의 개수 이상인 단어의 개수를 구하여라. 이 문제는 경로의 수 문제로 대응하여 카탈란 수로 대응할 수 있다. 길이가 $2n$인 단어를..

카탈란 수의 점화식

다음 글 이 글의 마지막 부분에서 카탈란 수는 (0, 0)에서 (n, n)까지 $y=x$ 그래프보다 위에 있는 점을 통과하지 않고, 격자점만을 지나며 이동하는 경우의 수라고 하였다. 카탈란 수는 다음 일반항으로 정의되는 수열이다. $C_n=\frac{1}{n+1}{}_{2n}\mathrm{C}_n$ 이 일반항이 어떻게 유도되었는지는 이전 글을 찾아보기 바란다. 이번에는 이 수열의 성질을 응용하는데 초점을 맞출 것이다. 카탈란 수는 다음 점화식을 가지고 있다. $C_{n+1}$$=\displaystyle\sum_{i+j=n}C_i C_j$$=C_0C_n+C_1C_{n-1}$$+\cdots $$+C_{n-1}C_1+C_nC_0$ 이는 카탈란 수가 경로의 수 문제와 대응됨을 생각하면 어렵지 않게 설명할 수 있..

물체의 충돌로 원주율 근사하기

원주율은 지름과 원주가 이루는 비로 그 값은 대략 다음과 같다. $\pi$=3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679 원주율은 무리수이기 때문에 정확한 값을 구할 수는 없고 그 값을 근사해서 사용하는 것이 일반적이다. 근사에는 바젤 문제, 라이프니츠 공식 등 수학적인 방법으로 원주율을 유도하는 방법을 사용한다. 그런데 물리학을 이용해서 물체의 충돌로 원주율을 근사하는 방법이 있다. 질량이 1kg인 물체 A를 준비하고 한쪽에는 벽을, 다른 한쪽에는 질량이 $100^{n}$인 물체 B를 가져다 놓는다. 그리고 물체 B를 A쪽으로 운동시켜 벽과 두 물체가 완전탄성충돌하게..

제1, 2 코사인정리

직각삼각형에서는 다음이 성립한다. $a^2+b^2=c^2$ 피타고라스의 정리로 알려진 이 정리는 직각삼각형에서 직각을 끼고 있는 두 변의 길이를 알면 반대쪽 빗면의 길이를 알 수 있게 해 준다. 그런데 직각 말고 임의의 각에 대해 성립하는 공식이 있다. 이번 글에서는 제1, 2 코사인 법칙에 대해 알아보자. 제1 코사인 법칙 삼각형 $\triangle \mathrm{ABC}$와 각 꼭짓점의 대변의 길이가 $a,\;b,\;c$이다. 이때 다음이 성립한다 $a=b\cos C+c\cos B$ $b=a\cos C+c\cos A$ $c=a\cos B+b\cos A$ 증명 $a=b\cos C+c\cos B$ 하나만 증명하면 나머지는 돌려서 같은 방법으로 증명되니 이 경우 한 가지만 증명해보자. 점 A에서 변 a 쪽..

피보나치수열의 성질

피보나치수열은 초등학생도 흔히 접하는 매우 간단한 형태의 수열이다. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 ... 그런데 이 간단한 수열에도 파고들면 수많은 수학적 의미를 찾을 수 있다. 한번 그 의미를 알아보자. 참고로 $F_n$이 의미하는 바는 $n$번째 피보나치 수로 $F_1=1$, $F_2=1$, $F_3=2$이다. 홀짝성(기우성) 아주 간단한 성질이다. 피보나치수열의 원소는 홀수, 홀수, 짝수, 그리고 반복을 이룬다. 이가 성립하는 이유는 다음과 같다. $F_1=1$ (홀수), $F_2=1$ (홀수)이다. 홀수+홀수=짝수이므로 다음 $F_3$은 짝수이고 $F_4$는 홀수+짝수=홀수가 되어 홀수 $F_5$는 짝수+홀수=홀수가 되어 홀수 $F_6$는 홀수+홀수=짝..

피보나치수열의 일반항

피보나치수열은 초등학생도 흔히 접하는 매우 간단한 형태의 수열이다. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 ... 피보나치수열을 수학적으로 쓰면 다음과 같다. 초기 조건: $F_1=1$, $F_2=1$ 점화식: $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$($n\geq 3$) 이 정도면 피보나치수열을 사용하는 데는 부족함이 없지만 큰 피보나치수, 가령 $F_{50}$을 계산하기엔 노가다가 심하다. 따라서 이번에는 피보나치수열의 일반항을 구해볼 것이다. 이 글을 읽기 전 동차점화식의 일반항을 먼저 읽어주세요! 이 글에서는 해당 개념을 응용할 것입니다. 항 3개를 사용하는 동차점화식의 일반형은 다음과 같다. $a_n=pa_{n-1}+qa_{n-2}$ 따라서 피보나치수열은 여기서 ..