질량이 1kg인 물체 A를 준비하고 한쪽에는 벽을, 다른 한쪽에는 질량이 $100^{n}$인 물체 B를 가져다 놓는다. 그리고 물체 B를 A쪽으로 운동시켜 벽과 두 물체가 완전탄성충돌하게 한다.
이때 A가 벽 또는 물체 B와 충돌한 횟수에 $10^{n}$을 나누면 원주율이 소수점 아래 $n$자리까지 근사되어 나온다.
실제로 $n=3$인 경우 물체 B의 질량은 1백만 kg이 돼서 A의 충돌횟수는 3141번이 되고 따라서 3.141이 되어 소수점 아래 3자리까지 근사된다.
대체 왜 이런 예상치 못한 곳에서 예상치 못한 값을 마추친 것일까?
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먼저 물체 A의 질량을 $m_2$, 속도를 $v_2$, 물체 B의 질량을 $m_1$, 속도를 $v_1$라고 해보자. 그리고 오른쪽 방향의 속도를 +로 정의한다.
모든 충돌은 완전탄성충돌이고 마찰은 전혀 존재하지 않는다는 점에서 다음과 같은 식을 생각할 수 있다.
에너지 보존법칙: $\frac{1}{2}m_1{v_1}^2+\frac{1}{2}m_2{v_2}^2=\mathrm{constant}$
운동량 보존법칙: $m_1v_1+m_2v_2=\mathrm{constant}$
이때 알아둘 것이 에너지는 항상 보존되지만 운동량을 그렇지 않다. 두 물체가 충돌할 때는 운동량이 보존되지만, 물체 A가 벽과 충돌하면 물체 A의 속도는 크기는 같고 방향은 반대가 되어 A의 운동량의 부호가 바뀐다. 한편 벽은 여전히 정지해 있으므로 실험 중 모든 순간에 대해 운동량이 일정하다고 할 수는 없다.
좌표평면 위에 x축이 $v_1$, y축이 $v_2$로 하여 에너지 보존의 법칙을 나타내면 다음과 같다.
타원의 방정식은 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$로 운동에너지 보존법칙은 $a=\sqrt{\frac{2}{m_1}}$, $b=\sqrt{\frac{2}{m_2}}$인 꼴이므로 타원의 모습을 한다.
좌표평면에 운동에너지 보존법칙을 나타낸 그래프
이제 이 문제를 설명하기 위해 위상 공간(Phase Space)을 사용할 것이다. 위상 공간은 도형을 늘리거나, 줄이거나, 찌그러뜨리거나 하는 등 도형을 자르거나 이어 붙이지만 않으면 모두 같은 도형으로 취급하는 공간이다.
따라서 타원을 x축 방향으로 늘려서 그래프를 원형으로 만들면 해석을 쉽게 할 수 있다. 이때 x축에 생기는 변화는 다음과 같이 구할 수 있다.
타원의 방정식을 원의 방정식으로 만들려면 에너지 보존법칙 $\frac{1}{2}m_1{v_1}^2+\frac{1}{2}m_2{v_2}^2=\mathrm{constant}$ 를 $x^2+y^2=r^2$ 꼴로 변형해야 한다. 그러기 위해서 $x=\sqrt{m_1}v_1$, $y=\sqrt{m_2}v_2$라고 하면 $\frac{1}{2}(x^2+y^2)=\mathrm{constant}$ 가 되어 원의 방정식으로 변형할 수 있다.
타원 → 원
이제 두 물체가 충돌하는 모든 과정은 원 위의 어느 한 점으로 나타낼 수 있다. 가령 처음 물체 A는 정지해있고 물체 B가 A 쪽으로 달려올 때는 그림의 주황색으로 표시된 점에 있다.
즉, 매 충돌마다 지금의 상태를 나타내는 점은 원 위 어딘가로 이동해야 한다는 사실을 알 수 있다.
그렇다면 정확히 어느 점으로 이동해야 할까?
우리는 물체끼리의 매 충돌마다 운동량이 보존된다는 사실을 안다. 즉 다음과 같은 것이다.
$m_1v_1+m_2v_2=\mathrm{constant}$
축을 변형시킨 지금의 좌표계에서는 이 식을 다음과 같이 쓸 수 있다.
$\sqrt{m_1}x+\sqrt{m_2}y=\mathrm{constant}$
이 식은 일종의 직선의 방정식으로 해석하여 물체끼리 충돌했을 때 가능한 물체의 상태를 나타낸다.
만약 이 운동량의 직선과 에너지의 원이 두 점에서 만난다면 하나는 지금의 상태이고 다른 하나는 충돌 후의 상태를 나타낸다고 해석할 수 있을 것이다.
즉, 한번 충돌이 일어났을 때 주황색 점에서 분홍색 점으로 이동해야 하는 것을 알 수 있다.
그다음으로 물체 A가 가속받아 벽을 향해 달려가서 벽과 충돌하면 물체 A의 속도 $v_2$만 부호가 바뀌고 물체 B의 속도 $v_1$은 일정하므로 점을 x축 대칭한 것으로 생각할 수 있다.
물체의 상태는 주황색 → 분홍색 → 보라색 점으로 이동하며 벽과 1번, 물체와 1번, 총 2번의 충돌을 했다.
그리고 다시 운동량이 그리는 직선에 따라 다른 한 교점으로 이동하고, 또 x축 대칭되고를 계속 반복한다.
그럼 다음과 같은 모습이 된다.
그럼 충돌은 언제 멈추게 될까? 만약 물체 A와 B가 둘 다 벽의 반대쪽으로 운동하고 있고, A의 속도가 B의 속도보다 작거나 같으면 A는 B를 쫓아가지 못하므로 충돌은 끝이 난다.
이 조건은 두 물체의 속도가 양수이고(제1 사분면), A의 속도가 B의 속도 이하이다($v_2 \leq v_1$)로 이에 해당하는 부분이 바로 위 그림의 초록색 영역이다. 한번 이 영역에 들어온 점은 더 이상 이동하지 않는다.
이때 운동량 직선이 그린 각 직선은 서로 모두 평행하고 x축 대칭으로 그린 직선도 모두 서로 평행하므로 엇각에 따라 원호 위 각 점들이 이루는 각은 모두 같다.
그 각을 $\theta$라고 하면 원주각과 중심각의 관계에서 중심각은 $2\theta$임을 알 수 있다.
즉, 물체가 한 번씩 물체와 충돌하고 벽과 충돌했을 때 상태를 나타내는 점은 원래보다 $2\theta\;\mathrm{rad}$만큼 이동했음을 알 수 있다.
즉, 물체의 충돌을 위 그림과 같이 원주를 $2\theta$로 채우는 과정으로 생각할 수 있다.
그럼 해석을 새로이 하여 다음과 같이 할 수 있다.
물체의 충돌은 원주를 $2\theta\;\mathrm{rad}$으로 채워나가며 더 이상 채우지 못할 때까지 채웠을 때 정지한다.
x축에 수직인 직선이 x 축인, 즉 90도 회전한 좌표계를 생각해보면 $\tan \theta$는 운동량의 직선의 기울기와 같다.
즉, 기울기가 $-\frac{\sqrt{m_1}}{\sqrt{m_2}}$인 직선과 수직한 직선의 기울기는 $\frac{\sqrt{m_2}}{\sqrt{m_1}}$이다. 따라서 다음과 같은 식을 쓸 수 있다.
$\tan \theta=\sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$
$\arctan{\sqrt{\frac{m_2}{m_1}}}=\theta$
즉, 작은 질량을 큰 질량으로 나눈 값에 아크탄젠트(탄젠트의 역함수)를 취해 각도를 알아내는 것이다.
그런데 여기서 $m_1 \gg m_2$임을 생각해보자. 무거운 물체 B의 질량은 가벼운 물체 A보다 아주아주 무겁다.
아크탄젠트는 값이 매우 작을 때 함숫값과 입력값이 매우 비슷하다는 특징이 있다. 즉 아주 작은 각에 대한 탄젠트는 자기 자신과 비슷하다는 것이다.
$\arctan x\approx x$, $\tan x\approx x$, $x$는 아주 작은 수
이는 $x$가 라디안 각도일 때 성립하는 성질로 단위원을 생각했을 때 $\tan x=\frac{\text{height}}{\text{radius}}$인데 $\text{radius}=1$이고 각 $x$가 매우 작으므로 $\text{height}$는 원호의 길이와 거의 같다. 원호의 길이는 $x$이므로 작은 각에 대해 $\tan x \approx x$이다.
그러니 $\theta\approx \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$
이를 앞선 부등식에 대입하면 다음과 같다.
$\sqrt{\frac{m_2}{m_1}} N<\pi$
$m_1=100^{n}\;\mathrm{kg}$, $m_2=1\;\mathrm{kg}$
이라면 부등식에 대입하여
$\frac{1}{10^n} N<\pi$ 이 된다.
따라서 충돌 횟수 $N$에 $\frac{1}{10^n}$을 곱하면 원주율에 미만의 아주 근접한 값을 구할 수 있다.
