제1, 2 코사인정리

직각삼각형에서는 다음이 성립한다.

$a^2+b^2=c^2$

피타고라스의 정리로 알려진 이 정리는 직각삼각형에서 직각을 끼고 있는 두 변의 길이를 알면 반대쪽 빗면의 길이를 알 수 있게 해 준다.

 

그런데 직각 말고 임의의 각에 대해 성립하는 공식이 있다. 이번 글에서는 제1, 2 코사인 법칙에 대해 알아보자.

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제1 코사인 법칙

삼각형 $\triangle \mathrm{ABC}$와 각 꼭짓점의 대변의 길이가 $a,\;b,\;c$이다.

이때 다음이 성립한다

$a=b\cos C+c\cos B$

$b=a\cos C+c\cos A$

$c=a\cos B+b\cos A$

 

증명

$a=b\cos C+c\cos B$ 하나만 증명하면 나머지는 돌려서 같은 방법으로 증명되니 이 경우 한 가지만 증명해보자.

점 A에서 변 a 쪽으로 수선을 내려 수선의 발을 H라고 하자.

그럼 다음이 성립한다.

$a=\overline{BH}+\overline{CH}$

 

이제 둘로 나눠져 생긴 직각삼각형에서 다음이 성립한다.

$\triangle \mathrm{ABH}$에서 $\cos B=\frac{\overline{BH}}{c}$, $\overline{BH}=c\cos B$

$\triangle \mathrm{ACH}$에서 $\cos C=\frac{\overline{CH}}{b}$, $\overline{CH}=b\cos C$

 

따라서 $a=\overline{BH}+\overline{CH}=c\cos B+b\cos C$

$a=b\cos C+c\cos B$

 

정리라고는 하지만 사실 좀 당연하다. 제2 코사인정리로 넘어가자.

 

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제2 코사인 법칙

삼각형 $\triangle \mathrm{ABC}$와 각 꼭짓점의 대변의 길이가 $a,\;b,\;c$이다.

이때 다음이 성립한다.

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

 

증명

제1 코사인 법칙에서 시작한다.

$a=b\cos C+c\cos B$

$b=a\cos C+c\cos A$

$c=a\cos B+b\cos A$

 

여기에 각 변에 $a,b,c$를 곱하면 다음과 같다.

$a^2=ab\cos C+ca\cos B$$\;\cdots\;$①

$b^2=ab\cos C+bc\cos A$$\;\cdots\;$②

$c^2=ca\cos B+bc\cos A$$\;\cdots\;$③

 

①-②-③

$\rightarrow a^2-b^2-c^2=-2bc\cos A$

$\rightarrow a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

 

②-①-③

$\rightarrow b^2-a^2-c^2=-2ca\cos B$

$\rightarrow b^2=a^2+c^2-2ca\cos B$

 

③-①-②

$\rightarrow c^2-a^2-b^2=-2ab\cos C$

$\rightarrow c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$