상대적이고 절대적인 것 [상대성 이론]

상대성 이론

상대성 이론은 역사상 가장 위대한 물리학자로 알려진 Albert Einstein이 쓴 논문에서 처음 알려져 시간과 공간에 대한 기존의 인식을 완전히 바꾼, 그야말로 가장 혁신적인 이론이에요. Einstein은 기존의 절대적인 시간의 개념을 부정하고 사고 실험을 통해 시간과 공간이 관측자에 대해 어떻게 상대적으로 변하는지 설명하였죠.

이번 글에서는 상대성 이론, 그중에서도 특수 상대성 이론의 가장 기본적인 아이디어와 그로부터 유도되는 시간 지연, 길이 수축에 대해 알아봐요.

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물리법칙이 성립하는 곳

지표면에 관측자 예지가 서있다고 해볼게요. 예지가 공을 지면에 수직 하게 던져 올리면 공은 일정한 힘을 받아 Issac Newton의 이론에 따라 등가속도 운동 법칙에 의해 위로 올라갔다가 아래로 떨어질 거예요. 그 이유는 예지가 있는 "곳"에서 물리법칙이 성립하기 때문이에요.

예지가 던진 공은 등가속도 운동 법칙에 따라 위로 올라갔다 아래로 떨어진다.

이처럼 Newton의 물리법칙이 성립하는 기준틀을 관성 틀이라고 해요. 이번에는 서로 다른 두 관측자가 다른 관성 틀에 있는 상황을 생각해볼게요.

예지는 지면에 가만히 있고, 지혜는 자면에 대해 $v$로 움직이는 카트에 타고 있다고 해볼게요. 지혜가 공을 자신의 머리 위로 던지면 지혜가 보기에 공은 곧장 위로 올라갔다가 아래로 오는 것처럼 보여요. 하지만 예지는 다르게 이 사건을 관측합니다. 예지는 공이 수직하게 직선으로 움직이는 것이 아닌, 포물선을 그리는 것처럼 관측해요. 이렇게 같은 사건을 두 관측자가 다르게 관측하는 것은 두 관측자가 다른 관성 틀에 있기 때문이에요.

 

예지와 지혜가 관측한 사실을 정리해보면 둘은 공이 이동한 경로에 대해서는 다른 관측을 했지만 공이 뉴턴의 법칙을 만족한다는 점, 공이 공중에 떠있는 시간 등에 대해서는 같은 관측을 했어요. 그렇다면 공이 이동한 경로는 둘 중 누가 맞게 관측한 것일까요? 결론부터 말하면 둘 다 맞게 관측했어요. 이것은 각자의 관성 틀에 대해서는 각자의 관측이 맞고, 물리현상을 해석하는 데 있어서 "맞다고 여겨지는" 관성 틀은 없기 때문이에요.

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빛의 속력은 일정하다

맥스웰은 당시 핫한 연구주제인 전자기파의 성질에 관한 식인 "맥스웰 방정식"을 만들었어요. 그리고 빛은 전자기파이니까 빛도 맥스웰 방정식을 따라야 하지요. 그런데 맥스웰 방정식을 보면 어느 관성 틀이던 빛의 속도는 일정해야 함을 알 수 있어요. 앞서 $v$로 움직이는 지혜가 보던, 지면에 멈춰있는 예지가 보던 빛의 속력은 똑같이 $c$($c$는 빛의 속력을 나타내는 상수로 그 값은 정확히 $299792458\mathrm{m/s}$ 에요) 여야 한다는 것이죠. 이 사실은 매우 큰 혼란을 만들어요. 만약 카트가 $0.5c$, 그러니 빛의 속도의 절반으로 움직이고 있고, 카트와 같은 방향으로 빛이 움직이고 있다면 고전역학의 상대속도 개념에 의해 지혜는 $0.5c$로 움직이는 빛을, 예지는 $c$로 움직이는 빛을 관측해야 해요. 이것은 앞서 어느 관성 틀도 빛의 속도를 동일하게 관측한다는 사실에 어긋나지요.

둘 중 무엇이 맞을까요? 놀랍게도 이 부분에 대해서는 고전역학이 틀렸어요. 비록 카트에 대한 빛의 상대 속력이 $0.5c$이지만 지혜가 보기에 빛은 여전히 $c$로 움직이는 것처럼 보여요.

 

우리는 2가지 중요한 사실을 가정해야 해요.

• 상대성의 원리: 어느 관성 틀도 적용되는 물리법칙은 동일하다.
• 광속 불변의 법칙: 어느 관성 틀도 빛의 속력은 똑같이 $c=299792458\mathrm{m/s}$로 측정한다.

이제 이 두 가지 사실들로부터 시간과 공간에 대한 기존의 관념을 수정하고 아무리 상식에 어긋나는 결론이 나와도 받아들일 준비를 해야 해요.

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관측자에 따라 시간은 다르게 관측된다.

다시 두 관측자 예지와 지혜를 초대해볼게요. 지혜는 지면에 대해 $v$로 움직이는 카트 위에 있고 예지는 지면에 정지해 있어요. 예지와 지혜는 일직선 상에 있고요 둘 다 카트의 중앙에 서있어요. 그리고 카트의 중앙에는 빛을 내는 장치가 있어서 지혜가 버튼을 누르면 양쪽으로 동시에 빛을 쏩니다. 카트의 양쪽 끝에는 센서가 있어서 빛이 센서에 닿으면 센서를 보고 있는 사람에게 즉시 "빛이 도착했어요!"라고 알려줍니다.

자 이제 카트를 움직이게 하고 버튼을 눌러봅시다. 결과가 어떻게 될까요?

 

지혜는 카트를 따라 같이 움직이고 있으니까 빛이 광원에서 나와서 A와 B까지 이동해야 하는 거리는 같아요. 따라서 지혜는 빛이 동시에 두 센서로 도착하는 것으로 관측해요.

 

그런데 예지는 어떤가요? 예지가 보기에는 B보다 A에 빛이 먼저 도착할 것이에요. 아래 그림을 보고 생각해보죠.

예지 입장에서 빛은 노란색의 위치에서 발사되었어요. 그리고 왼쪽과 오른쪽으로 가는 빛의 속력이 $c$로 똑같기 때문에 같은 시간 동안 같은 거리를 이동하지요. 하지만 센서 A와 B는 카트에 의해 이동하기 때문에 왼쪽으로 이동하는 빛은 오른쪽에 비해 더 적은 거리를 이동해도 센서에 닿을 수 있어요. 따라서 A에 먼저 빛이 도착한 것처럼 관측하지요.

 

통틀어보면 사건 1: "빛이 A에 도착함"과 사건 2: "빛이 B에 도착함" 이 있을 때 지혜는 두 사건이 동시에 일어난다고 생각하지만, 예지는 사건 1이 먼저 일어나고 사건 B가 일어난다고 생각하지요. 즉 한 관성 틀에서 동시에 일어났다고 관측했어도 다른 관성 틀에서는 동시에 일어나지 않았다고 관측할 수 있어요. 그러니 동시성이라는 것은 관성계의 운동 상태에 따라 변하는 개념이지요.

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움직이는 물체는 시간이 빠르게 흐른다(시간 지연).

이제 다른 사고 실험을 해볼게요. 우선 빛 시계라는 것을 생각해봅시다. 빛 시계는 다음 그림과 같이 두 거울이 마주 보고 있고, 그 사이는 빛이 두 거울 사이를 왕복하고 있는 장치에요. 빛이 각 거울에 도착하는 시간을 사용해서 시간을 측정할 수 있지요.

자 이제 이걸 지혜가 탄 카트 위에 설치해보죠.

설명을 하기 전에 "고유 시간(proper time)"이라는 것을 도입해봅시다. 고유 시간은 빛 시계와 같은 관성 틀에 있는 관측자가 측정한 시간이에요. $\Delta t_p$라고 하지요.

 

지혜가 측정한 빛의 속도는 $c$여야 하고, 빛이 한쪽 거울에서 다른 쪽 거울까지 이동해서 다시 돌아오는 데까지 이동한 거리는 $2d$이니 이동하는 데 걸리는 시간을 $\Delta t_p$라고 하면 다음이 성립해요.

$\Delta t_p = \frac{2d}{c}$

 

그리고 예지의 입장에서 예지는 빛이 수직으로 움직이지 않고 사선으로 움직인 것으로 관측해요. 그러니 빛이 더 먼 거리를 이동한 것이 되는 거죠. 빛이 이동한 거리는 피타고라스의 정리로 구할 수 있어요. 예지가 관측하기에 빛이 한쪽 거울에서 다른 쪽 거울까지 갔다가 돌아오는 데 걸린 시간이 $\Delta t$이면 빛이 이동한 수평거리는 $\frac{v\Delta t}{2}$이고 수직 거리는 $d$이므로 한 빗변의 길이는 다음과 같아요.

$\sqrt{\frac{v^2 \Delta t^2}{4}+d^2}$

 

빛이 이 경로를 따라 움직이니 이 거리는 빛이 $\frac{\Delta t}{2}$동안 움직인 거리와 같아요.

$\frac{\Delta t}{2}=\sqrt{\frac{v^2 \Delta t^2}{4}+d^2}$

 

그런데 앞선 지혜의 관점에서의 식에서 $d=\frac{c\Delta t_p}{2}$ 이기 때문에 이를 대입하면 다음과 같아요.

$\frac{\Delta t}{2}=\sqrt{\frac{v^2 \Delta t^2}{4}+\frac{c^2 \Delta t_p ^2}{4}}$

 

$\Delta t$에 대해 정리해주면 다음과 같아요.

$\Delta t=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\Delta t_p$

 

그러니 두 사건이 일어난 간격을 예지는 지혜보다 $\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ 배만큼 길게 측정한 것이에요. 다시 말해 예지가 보기에 움직이고 있는 지혜는 시간이 자신에 비해 더 빠르게 흐르고 있다고 생각해요($\Delta t > \Delta t_p$). 여기서 다음과 같이 정의하면

$\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1-v^2 /c^2}}$

위 식은 다음과 같이 간단히 표현되지요.

$\Delta t=\gamma \Delta t_p$

그래서 정지한 관측자가 보기에 속력 $v$로 운동하는 관측자의 시간은 자기보다 $\gamma^{-1}$만큼 느리게 흘러요.

일상적으로 물체의 속도가 빛의 속도에 비해 매우 작은 경우 $\gamma \approx 1$이기 때문에 상대론적인 시간 지연은 무시할만해요. 하지만 빛의 속도에 준하게 운동하는 경우 시간 지연은 매우 극단적으로 발생하지요.

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시간 지연은 길이의 변화를 만든다. (길이 수축).

시간 지연은 두 관성 틀에 존재하는 관측자가 길이를 다르게 관측할 수 있게 하기도 해요. 이는 시간 지연에서 간단히 유도됩니다. 앞서서

$\Delta t=\gamma \Delta t_p$

라고 했는데, 두 관성 틀에서 빛의 속력은 같아야 하니 양변에 빛의 속력을 곱하면

$c\Delta t=\gamma c\Delta t_p$

이번에는 정지해 있는 관측자가 관측한 길이를 고유 길이라 하여 $L_p = c \Delta t$, 운동하고 있는 관측자가 관측한 거리를 $L=c\Delta t_p$라고 할게요. 그러면

$L=\frac{L_p}{\gamma}$

에요. 그러니 운동하는 관측자가 측정하는 거리는 정지한 관측자보다 $\gamma^{-1}$만큼 짧게 측정하는 것이에요. 이때 중요한 것은 길이의 수축은 운동방향으로만 나타난다는 점이에요. 그러니 누군가가 정사각형 모양의 우주선을 타고 빠르게 이동하고 있다면 우주선에 타고 있는 사람은 정사각형의 우주선을 관측하겠지만(여기서 고유 길이는 우주선에 타고 있는 사람이 관측한 길이) 바깥에서 우주선을 보고 있는 사람은 운동방향으로 길이가 수축된 직사각형 모양의 우주선을 보게 될 것이에요.