전기 - 유도자(인덕터)

전류가 흐르는 도선 주위에는 자기장이 생긴다.

우리가 일반적으로 전기회로를 분석할 때는 도선에 흐르는 전류가 만드는 자기장을 고려하지 않지만, 그리고 직류의 경우 분석할 필요도 없지만 교류회로의 경우 이 현상이 재미있는 현상을 만든다.

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우리는 기본적으로 회로의 스위치를 내리는 순간 모든 지점에 전위차가 걸리고, 일시에 전류가 흐르기 시작한다고 가정하지만, 실제로는 그렇지 않다.

스위치를 내리면 도선의 전류가 증가하고→도선 근처에 점점 세지는 자기장이 유도되고→유도 기전력은 자기장의 증가를 막는 방향으로 유도되고→전류의 증가를 막는다.

 

이 현상은 전류가 흐르는 모든 도선에서 발생하지만, 일반적으로는 그 정도가 크지 않아 무시한다. 대신 이 효과가 최대로 발생하도록 설계한 전자부품이 있다. 인덕터(유도자, inductor)이다.

인덕터는 전선이 코일처럼 꼬아져 있는 형태이다. 여러 번 감긴 코일은 강한 자기장을 유도하고 강한 자기장의 변화를 만들어 전류를 더욱 강하게 방해한다. 인덕터에서 이 현상이 어떻게 일어나는지 살펴보자.

https://www.miniphysics.com/ss-magnetic-field-due-to-current-in-a-solenoid.html, 2021

전류가 흐르면 코일에 자기장이 유도된다. 위 그림에서 전류가 점점 강하지고 있다고 하자. 그럼 자기장은 점점 강해진다. 자기장은 변하는 것을 싫어하기 때문에 자기장의 변화를 막기 위해 반대방향의 자기장을 형성하려 반대방향의 전류를 만들고, 이는 원래의 전류를 방해한다.

 

인덕터의 본질은 유도 기전력을 발생시키는 부품이라는 점에서 인덕터가 방해하는 전류에 관하여 다음 식을 쓸 수 있다.

$V =L\frac{\Delta I}{\Delta t}$

 

여기서 $V$은 인덕터가 만드는 역기전력의 세기, $L$은 인덕터의 기하적 특징(감은 수 등)에 따라 결정되는 값이다. 이를 인덕턴스라고 한다. 인덕턴스가 커질수록 인덕터의 방해효과가 커진다. 인덕턴스의 단위는 $\mathrm{V \cdot s/ A}$가 되며, 이것을 $\mathrm{H}$라고 쓰고 '헨리'라고 읽는다.

 

코일 형태의 인덕터에서 인덕턴스를 계산해보자.

역기전력의 세기가 인덕터가 만드는 역기전력과 같음에서 다음 식이 나온다.

$N\frac{\Delta \Phi_B}{\Delta t}=L\frac{\Delta I}{\Delta t}$

 

코일에서 자기장의 세기는 다음과 같으므로

$B=\mu_0 \frac{N}{\ell}I$

 

$\Phi_B=BA$에서 위 식을 아래와 같이 쓸 수 있다. 여기서 $A$는 코일의 단면적이다.

$N\Delta(\mu_0 \frac{N}{\ell}AI)=L\Delta I$

 

여기서 $I$만 변수이므로 델타 밖으로 상수들을 끄집어내고 약분하면 다음과 같다.

$N\mu_0 \frac{N}{\ell}A=L$

 

이 식을 한번 더 정리하면 코일에서의 인덕턴스는 다음과 같이 계산된다.

$L=\frac{\mu_0 N^2A}{\ell}$

 

어쨌든 가장 앞에서 언급한 인덕터에 관한 식이 의미하는 바는 전류가 빨리 변할수록 역기전력이 세진다는 것이다. 즉, 도선에 전위차를 거는 순간 전류가 빨리 변하여 역기전력이 세졌다가 시간이 흐르며 점점 작아져 결국 인덕터의 방해효과가 영이 된다.

 

인덕터 또한 커패시터와 같은 식으로 시간에 따른 회로에 걸리는 전류를 계산할 수 있다. 전지의 기전력을 $V_{\text{emf}}$라고 하고, 저항이 $R$인 다음 회로를 생각해보자.

여기서 스위치를 내린 후 $t$초일 때의 전류 $I$는 다음과 같이 구한다.

$I=\frac{V_{\text{emf}}}{R}\left(1-e^{-t/\tau}\right)$

 

여기서 $\tau$는 마찬가지로 시간 상수이며 다음과 같이 구한다.

$\tau=\frac{L}{R}$

 

스위치를 내린 직후부터 시간에 따른 도선의 전류를 측정하면 다음과 같다.

수학적으로 분석해보면 전류가 최대 전류인 $\frac{V_{\text{emf}}}{R}$에 도달되려면 무한한 시간이 지나야 한다. 하지만 이는 전하가 무한히 작아질 수 있다는 가정에서 온 것이며, 실제로는 일정 시간 후에는 도선에 최대 전류가 흐른다.