연속방정식과 베르누이 방정식

흐르는 물체의 운동을 분석하기

액체나 기체와 같이 흐르는 물체인 유체의 운동을 분석하는 것은 난해해요. 유체는 밀도, 점성, 압축 등에 의해 운동이 매우 복잡해질 수 있고 그것을 일일이 모두 고려해서 운동을 분석하기는 힘들죠. 예를 들어 물과 꿀은 둘 다 액체이지만 점도가 다르기 때문에 다른 성질을 지니게 돼요. 일반적인 유체의 운동을 표현한 식으로 나비에-스토스크 방정식이 있는데 이 방정식은 정확한 풀이법도 알려져 있지 않을 정도로 난해합니다. 이번 글에서는 그러한 복잡한 유체 대신 "이상 유체"라는 특수한 유체를 다룰 것이에요.

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이상적인 유체. "이상 유체"

이상유체는 분석을 쉽게 하기 위해 다음 사실을 가정해요

• 유체는 비압축성이다(압축되지 않는다).
  기체의 경우 압력을 가하면 부피가 줄어들어요. 이것을 압축된다고 하죠. 이상 유체는 압력을 가해도 이러한 압축이 발생되지 않는다고 생각해요.
• 점성이 없다.
  꿀을 생각해보면 높은 곳에서 흘려보내도 잘 떨어지지 않아요. 이것은 꿀을 구성하는 입자 하나하나의 상호작용으로 인해 운동이 방해되기 때문이에요. 이상 유체는 입자 간 인력이나 마찰력이 없어서 운동의 방해가 없다고 생각해요.
• 유체의 운동이 일정하다.
  시간에 따라 유체의 한 위치에서 유체의 속도, 밀도, 압력이 변하지 않고 일정히 유지된다는 뜻이에요.
• 난류가 없다.
  유체가 흐르는 동안 소용돌이가 없다는 뜻이에요.

과한 가정일 수 있지만 일상에서 가장 많이 쓰이는 물의 경우 이 가정에 꽤 잘 맞아요.

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연속방정식

이상 유체에 대해 가장 먼저 생각해볼 부분은 유체가 흐르는 양이예요. 다음과 같이 들어가는 부분의 단면적이 $A_1$, 들어가는 유체의 속도가 $v_1$, 나오는 부분의 단면적이 $A_2$, 나오는 유체의 속도가 $v_2$인 상황을 생각해봐요.

 

이때 "단위 시간 동안 관으로 들어가는 유체의 부피는 나오는 유체의 부피와 같다."라는 점에서 다음과 같이 식을 유도할 수 있어요(앞선 가정은 이상 유체의 가정 때문에 성립해요).

시간 $t$초 동안 유체는 $v_1 t$ 만큼 관으로 들어갈 거예요. 그럼 관으로 들어간 유체의 부피는 여기에 단면적을 곱해 $A_1v_1t$라고 쓸 수 있겠죠. 이것을 나오는 관에서도 똑같이 적용하면 $t$초동안 관에서 나오는 유체의 부피는 $A_2v_2t$가 돼요. 그런데 관에 들어가는 유체의 부피와 나오는 부피는 같아야 하므로 $A_1v_1t=A_2v_2t$, 따라서 $A_1v_1=A_2v_2$가 돼요. 한 줄로 요약하면 이상 유체가 흐르는 관은 관의 모든 부분에서 그 부분의 단면적을 $A$, 그 부분을 통과하는 유체의 속력이 $v$이면

$AV=\mathrm{constant}$

에요. 이 식을 연속 방정식이라고 해요.

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베르누이 방정식

유체에서 에너지 보존법칙을 쓸 수 있어요. 관으로 들어가는 유체 입자 하나에 대해 에너지 보존법칙을 쓰면 그 입자가 유동하는 전 과정에서 입자의 역학적 에너지는 보존돼야 해요. 유체가 가지고 있는 에너지는 다음과 같이 구할 수 있어요.

 

우선 유체가 1번 지점에서 2번 지점까지 운동하는 경우 유체의 속력에 의한 운동에너지의 변화는 다음과 같아요.

$\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2$

 

질량은 밀도와 부피를 곱한 것이니 유체의 밀도를 $\rho$라고 하고 부피를 $V$라고 할게요. 그럼 $m=\rho V$이니 운동에너지는 다음과 같아요.

$\frac{1}{2}\rho V v_2^2-\frac{1}{2}\rho V v_1^2$

 

두 번째로 퍼텐셜 에너지를 생각해봐요. 1번 지점의 높이를 $y_1$, 2번 지점의 높이를 $y_2$라고 하면 $y_1$에서 $y_2$로 중력을 받으며 이동하면 변화하는 퍼텐셜 에너지는 다음과 같아요.

$mgy_2 - mgy_1$

 

마찬가지로 $m=\rho V$를 대입하면 다음과 같이 쓸 수 있죠.

$\rho V gy_2- \rho V gy_1$

 

마지막으로 유체가 압력을 받아 관으로 들어오면서 받은 에너지를 생각해볼게요. 유체가 지점 1에서 $P_1$의 압력을 받고 있다면 압력이 유체에게 한 일은 $F=PA$를 활용해서 다음과 같이 쓸 수 있어요.

$W=F \Delta s=PA \Delta s=PV$

 

일 - 에너지 정리를 활용해서 유체가 한 일만큼 에너지가 변할 것이니 지점 1에서 받은 에너지 - 지점 2에서 받은 에너지만큼 이 지점을 이동하면서 생긴 에너지 변화와 같을 것이에요. 앞선 논의를 모두 합치면

$P_1 V - P_2 V=\frac {1}{2}\rho V v_2^2-\frac {1}{2}\rho V v_1^2 + \rho V gy_2-\rho V gy_1$

 

$V$를 약분하고 이항 하면

$P_1 +\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho gy_1=P_2 +\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho gy_2$

 

즉 유체의 임의의 지점에서 다음 값은 일정해요.

$P +\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gy=\mathrm {constant}$

 

이 식이 베르누이 방정식이에요.