전기 - 축전기(커패시터)

커패시터(Capacitors)는 두 극판을 가까이 두고 전기장을 형성하여 전하를 저장하는 부품이다. 실제로 보면

이렇게 생겼다.

 

커패시터는 일정한 거리를 둔 두 평행한 금속판으로 되어있다. 두 금속판에 전압을 걸어주면 전위차에 의해 전하들이 한 방향으로 쏠려서 이동하고, 각 금속판은 대전된다. 그러다 전지의 전위차와 커패시터의 전위차가 같아지면 전하의 이동은 중단되고 두 금속판은 +Q, -Q로 대전된다.

이러한 성절은 전기에너지를 모았다가 한 번에 방출하는, 예를 들어 점화플러그나 카메라 플래시에 사용된다.

 

커패시터의 성능은 전기용량으로 설명된다. 전기용량 $C$는 다음과 같이 정의된다.

$C=\frac{Q}{\Delta V}$, 단위: F(패럿) 또는 C/V(쿨롱/볼트)

$Q$는 커패시터에 저장된 전하량, $\Delta V$는 커패시터에 걸린 전위차를 말한다. 가령 전기용량이 2 F인 커패시터에 10 V의 전위차를 걸면 20 C의 전하가 커패시터에 저장된다. 물론 패럿은 매우 큰 단위이기 때문에 μF(마이크로패럿, $10^{-6} \mathrm F$)에서 pF(피코페럿, $10^{-12} \mathrm F$) 정도까지 매우 작은 접두사를 사용한다.

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커페시터를 구성하는 두 금속판 사이에 유전체(부도체)가 들어가면 커패시터의 성능이 향상된다. 앞서 전기용량은

$C=\frac{Q}{\Delta V}$

라고 했는데 $\Delta V=Ed$이고 $Q=\sigma A$임을 생각하면 위 식은 아래와 같이 변형된다.

$C=\frac{\sigma A}{Ed}$$=\frac{\sigma A}{(\sigma / \epsilon_0)d}$$=\epsilon_0 \frac{A}{d}$

여기서 $\sigma$는 단위 넓이당 전하이고 $\epsilon_0$는 진공에서의 유전율이다.

이 식은 커패시터를 구성하는 판이 넓을수록, 거리가 가까울수록, 판 사이 유전체의 유전율이 클수록 전기용량이 커짐을 설명한다. 즉, 그냥 커패시터보단 그 사이에 무언가를 넣는 것이 유리하다.

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저항처럼 커패시터를 합성하는 방법에 대해 생각해보자.

만약 커패시터가 병렬로 연결된 경우 각 커패시터에 걸리는 전압은 모두 같다. 따라서 각 커패시터는 독립적으로 전하를 축적하기 때문에 이들의 합성 전기용량은 각각의 대수적 합과 같다.

$C_{tot}=C_1+C_2+C_3+\cdots$

만약 각 커패시터가 직렬로 연결된 경우 가장 끝쪽의 커패시터 1과 커패시터 3에 축전되는 전하량은 같아야 한다. 따라서 각각의 반대편 금속판도 같은 전하가 축전되고, 그것이 반복되어 모든 커패시터에는 일정한 전하량이 축전되게 된다.

모든 커패시터가 $Q$만큼의 전하를 축전한다고 하면 전기용량에서 커패시터 하나가 만드는 전위차는 다음과 같다.

$\Delta V=\frac{Q}{C}$

이를 전체 전기용량과 각각의 전기용량에 대해 적어주면 다음과 같다.

$\frac{Q}{C_{tot}}=\frac{Q}{C_{1}}+\frac{Q}{C_{2}}+\frac{Q}{C_{3}}$

$Q$를 약분하면 다음과 같다.

$\frac{1}{C_{tot}}=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}+\frac{1}{C_{3}}$

즉, 직렬연결된 커패시터의 총 전기용량은 각각의 역수의 합의 역수이다.

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다음과 같은 매우 간단한 커패시터 회로를 생각해보자.

전원을 공급하기 시작하면 전위차에 의해 커패시터의 양단에는 전하가 축적된다. 이렇게 전하가 축적되는 것을 충전이라고 한다. 시간이 흐를수록 더 많은 전하가 축적되며 그러다 양단의 전위차가 전원의 전위차와 같은 10 V에 도달하면 전하의 축적은 멈춘다. 이를 "충전이 끝났다"라고 한다.

여기서 커패시터에 충전되는 전하의 양은 전기용량과 전위차의 곱으로 구할 수 있다. 여기서는 5 mC(밀리쿨롱)이다.

 

그런데 충전은 시간에 따라 일정하게 이루어지지 않는다. 충전이 진행될수록 커패시터가 만드는 전위차는 전원의 전위차에 반하여 충전을 방해한다. 결국 충전 후반부로 갈수록 초반에 비해 충전이 느려진다.

 

시간에 따른 커패시터에 저장되는 전하 $q$의 값은 다음과 같다.

$q=Q(1-e^{-t/RC})$

여기서 RC는 시간상수로 R은 회로의 저항, C는 커패시터의 전기용량을 말한다. $RC=\tau$로 쓰기도 한다.

또한 전하량 $Q$는 커패시터의 최대 축전 전하량으로 $C\Delta V$로 구한다.

이 함수의 그래프는 다음과 같다.

이 식을 분석해보면 수학적으로 커패시터가 완충되려면 무한한 시간이 필요하다. 하지만 이는 전하의 최소 크기를 고려하지 않았기 때문이며, 실제로는 어느 정도 시간이 흐르면 커패시터는 모두 충전된다.

 

이와 비슷하게 커패시터가 방전되는 경우 처음에는 커패시터가 만드는 전위차가 강하기 때문에 빠르게 방전되지만 후반으로 갈수록 전위차가 줄어들어 방전이 느려진다. 이때 커패시터의 전하량 $q$를 시간에 따른 함수로 나타내면 다음과 같다.

$q=Qe^{-t/RC}$