수학

분할과 분배 Pt.1

다음글 분할과 분배는 기본적으로 전체를 여러개의 소부분으로 나누는 문제이다. 이를테면 $n$개의 과제를 $k$명이 나눠가지는 경우의 수이다. 분할과 분배는 종류에 따라 8가지로 나뉜다. 공을 상자에 나눠담을 때 1.공을 구분할 수 있는가 2.상자를 구분할 수 있는가 3.빈상자가 있어도 되나이다. 이 8개의 조건이 모여 총 8개의 부분경우를 만든다. 이 글에서는 이중 4가지만을 다루겠다. 공을 구분할 수 있고, 상자를 구분할 수 있는 경우 $n$개의 구분되는 공을 $k$개의 구분되는 상자에 넣는 경우를 본다. 만일 빈 상자를 허용하는 경우, $n$개의 공은 각각 $k$개의 상자로 들어갈 수 있으며, 이는 각각의 공이 $k$개의 선택지를 가지고 있음을 말한다. 즉, 곱의 법칙에서 $k^n$임을 알 수 있다...

일반항과 점화식

< 등비수열과 등차수열 수열에는 일반항과 점화식이라는 개념이 있다. 이전 글을 보았으면 알겠지만 일반항은 수열의 항의 값을 항의 번호로 구하는 일반적인 식이며, 점화식은 구하고자 하는 항의 이전항들로 항의 값을 구하는 식이다. 그 글에서는 일반항과 점화식에 대해 자세히 알아본다. 등차수열과 등비수열의 일반항과 점화식 한 줄로 정리하자면 다음과 같다. ($a$: 일반항, $n$: 항의 번호, $d$: 공차, $r$: 공비) 일반항 점화식 등차수열 $S_n=a+(n-1)d$ $S_n=S_{n-1}+d$ 등비수열 $S_n=ar^{n-1}$ $S_n=rS_{n-1}$ 이미 이전 글에서 유도에 대해 설명했지만 이번에는 그냥 규칙을 찾는 것이 아니라 수학적으로 접근해보겠다. 점화식은 수열의 정의에서 당연하게 유도되..

등차수열과 등비수열

일반항과 점화식 > 이번 글에서는 수열 시리즈를 시작하며 가장 기본적인 등차수열, 등비수열에 대해 다룰 것이다 수열의 점화식과 일반항 수열이란 수의 나열이다. 예를 들면 $1, 2, 3, 4, 5 \cdots$는 자연수의 수열이며 $2, 3, 5, 7, 11, 13 ,17 \cdots$는 소수의 수열이다. 수열에는 항이라는 것이 있다. 항이란 수열의 몇 번째 수인지를 묻는 것이다. 예를 들어 수열 ${1, 2, 4, 8, 16, 32 \cdots}$의 제1항은 1, 제2항은 2, 제3항은 4이다. 수학적으로 쓰자면 수열 $a$의 $n$번째 항은 $a_n$으로 쓴다. 첫항의 경우 $a$로 쓸 수도 있다. 일반적으로 수열은 아무 의미없는 수의 나열이 아니라 일정한 규칙을 가지고 수를 나열한다. 그렇기 때문에..

경우의 수 - 경로의 수 Pt. 1

차례 1. 경로의 수 문제 2. 최단경로의 개수(111 방법) 3. 최단경로의 개수(동자 순열의 활용) 4. 최단경로의 개수(조합의 활용) 5. 최단경로가 아닌 경로의 개수 6. 경로의 수의 활용 앞으로 여러 문제가 나올 것입니다. 그 문제마다 해설을 바로 보기보단 직접 생각해 보시기 바랍니다 :) 경로의 수 문제 수학 교과에서 다음과 같은 문제를 본 적이 있을 것이다. 문제: A에서 B까지 지도의 격자점만을 지나 이동하는 최단경로의 개수를 구하시오. 앞으로 경로의 수에서는 기본적으로 이렇게 생긴 문제를 가지고 조금씩 변형해가며 문제를 풀 것이다. 우선은 이렇게 생긴 문제의 해법에 대해 알아보자. 최단경로의 개수: 111 방법 이 방법은 가장 쉽고 간단한 방법이다. 일반적으로 생각했을 때, 최단경로로 이..

수학적 증명방법

어떠한 수학적 이론을 증명하는 데는 여러 방법이 있을 수 있다. 기존에 증명된 다른 사실을 연역하여 증명할 수도 있으며(직접 증명법), 대우를 이용하여 증명할 수 도 있다. 이 글에서는 수학적 사실을 증명하는 테크닉들을 소개하고자 한다. 잘 기억해두고 유용히 쓸 수 있도록 하자. 귀류법 수학 교과에서도 소개되는 방법이다. 원명제를 부정하여 새로운 명제를 세우고(Ex. "불은 뜨겁다"→"불을 뜨겁지 않다") 그 명제를 대전제로 하여 논리를 펼쳤을 때 논리에 모순이 생김을 보여 원명제가 사실임을 보이는 것이다. 다음은 귀류법을 이용하여 소수가 무한함을 보이는 과정이다. 증명하고자 하는 명제: 소수는 무한하다. 부정한 명제: 소수는 유한하다. 대전제에 따라 소수는 유한하므로 소수들로 이루어진 수열 $P$에서 ..

경우의 수 - 순열과 조합

순열(Permutation)과 조합(Combination)은 경우의 수를 계산하는데 쓰이는 가장 일반적인 방법이다. 순열이란 순열은 쉽게 말해 $n$명중에서 $r$명을 임의로 뽑아 일렬로 나열할 수 있는 경우의 수이다. 예를 들어 5명 중에서 3명을 임의로 뽑아 나열하는 경우가 순열이다. 순열은 $P$를 이용하여 표현하며 $n$명중 $r$명을 뽑아 나열하는 순열은 다음과 같이 계산한다. ${}_n\mathrm P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ 예를 들면 구분되는 5명 중에서 임의의 3명을 뽑아 줄 세우는 경우의 수는 ${}_5\mathrm P_3=\frac {5!}{2!}=60$가지이다. 참고로, ${}_n\mathrm P_r$은 $P(n, r)$로도 쓰며 모두 같은 의미이다. 조합이란 순열은..