미분과 물리

미분은 뉴턴이 자신의 수학이론을 완성시키기 위해 처음 만든 개념이다. 이 글에서는 미분을 하는 방법보다는 그 자체에 집중해서 과학, 특히 물리학에서 응용하는 방법에 대해 이해해본다.

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미분이란?

과학에서는 연속적으로 변화하는 무언가를 분석할 필요가 있다. 변화에 집중해보자.

예를 들어 등가속도 운동을 하는 물체는 다음과 같은 시간-변위 그래프를 가진다.

중3 때 배웠겠지만, 여기서 변위는 시간에 대한 이차함수이다. 시간을 $t$, 변위를 $x$로 해보자.

그래프 위의 두 점을 잡고, 그 선을 잇는 선분을 그어보자.

이때 선분의 기울기는 $\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}$이다. 즉, 변위 변화를 시간 변화로 나눈 것으로 이는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\frac{\Delta x}{\Delta t}=v$

시간 변화 분의 변위 변화는 속도, 즉 선분의 기울기는 속도이다. 하지만 대체 언제의 속도인가? 이 속도는 $t_1$일 때의 속도도, $t_2$일 때의 속도도 아닌 $t_1$부터 $t_2$ 시간 동안의 평균속도를 말한다. 같은 시간 동안 이만큼의 속도로 움직이면 어쨌든 같은 변위를 이동하는 그 속도이다.

 

하지만 이 방법으로는 순간의 속도를 구할 수 없다. 지금 이 순간, 아주 짧은 시간동안의 속도는 구할 수 없다. 이 문제를 해결하기 위해 나온 것이 미분이다.

미분은 함수의 각 점의 기울기를 구하는데 쓰인다.

여기서 아마 이상함이 느껴질 것이다. 기울기는 두 점 이상이 모여 만드는 직선에 있는 건데, 어떻게 점에 기울기가 있는가?

간단하다. 같진 않지만, 다른 어느 점보다도 t축의 차이가 작은 두 점을 이용한다(극한이라 한다).

시간이 $t$일때 순간속도는 점 (t, x)에 접하는 접선이다. 접선은 함수 위의 점 중 한 개 점에서 딱 만나는, 그런 직선이다. 정확히는 어떤 점과, 그 점과 다른 어떤 점들보다도 t 축에서 가까운 다른 한 점이 만드는 직선이다.

접선의 기울기를 구하기 위해 점을 P라고 하자.

$P(t,\:f(t))$

이 점의 접선의 기울기는 다음과 같다.

$\lim_{x \to 0}\frac{f(t+x)-f(t)}{(t+x)-(t)}$

이 과정이 함수 $f$를 미분하는 과정이다.

미분한 결과(즉, 극한을 정리해서) 나온 식을 $f' (x)$라고 쓰고, 함수 $f$의 도함수라고 한다.

즉, 함수 $f$를 한번 미분하면 $f'$이 되고, 이를 도함수라고 한다.

 

수학적으로 "함수 $f$를 변수 $x$에 대해 미분한다"는 다음과 같이 쓴다.

$\frac{d}{dx}f(x)=f'(x)$

여기서 $d$는 delta로 변화량을 뜻한다. 같은 변화량을 뜻하는 $\Delta$와는 다르게 아주 작은 변화량을 뜻하며, $d$ 대신 $\partial$로 쓰기도 한다.

 

실제 예를 들어보자. 10m 높이에서 $10\mathrm{m/s^2}$의 중력가속도로 물체를 가만히 떨어뜨릴 때 시간에 따른 물체의 위치는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$h=\frac{10}{2}t^2+0t+10$

$h=5t^2+10$

$t$에 관한 이 식을 함수 $f(t)=5t^2+10$라고 해보자.

이 식을 미분하면 다음과 같다.

$\frac{d}{dt}f(t)$

$=\lim_{x\to 0}\frac{f(t+x)-f(t)}{(t+x)-(t)}$

$=\lim_{x\to 0}\frac{(5(t+x)^2+10)-(5t^2+10)}{x}$

$=\lim_{x\to 0}\frac{5(t+x)^2-5t^2}{x}$

$=\lim_{x\to 0}\frac{10tx+5x^2}{x}$

$=\lim_{x\to 0}{10t+5x}$

$=10t$

따라서 함수 $f(t)=5t^2+10$을 미분한 도함수 $f'(t)=10t$이다.

즉, 떨어지고 $t$초 후에 물체의 순간속도는 $10t$이다. 이를 시간-속도 그래프로 그리면 일차함수가 나올 것이다.

이 식을 다시 미분하면 어떻게 될까? $f'(t)=10t$를 다시 한번 미분해보자.

$\frac{d}{dt}f'(t)$

$=\lim_{x\to 0}{\frac{10(t+x)-(10t)}{(t+x)-(t)}}$

$=\lim_{x\to 0}{\frac{10x}{x}}$

$=10$

$f$의 도함수를 미분하고 한번 더 미분하니 10이 나왔다.

이렇게 어떤 함수를 2번 미분한 함수를 이계도함수라고 하고 $f''(t)$로 쓴다.

즉, $f$의 이계도함수인 $f''(t)=10$이다.

이 10의 정체는 무엇일까?

10은 일차함수의 기울기이고, 기울기는 가속도, 즉 10은 처음에 중력가속도라고 했던 그 값이다.

 

여기서 일차함수를 미분하면 상수, 이차함수를 미분하면 일차함수가 되는 등 미분은 지수를 하나 낮춰주는 특징을 발견할 수 있다. 또한 상수를 미분하면 항상 결과는 영이다. 상수함수의 기울기는 영이니까.

 

참고로 가속도를 미분하면 시간에 따른 가속도 변화, 일명 가가속도가 되며, 가가속도를 또 미분하면 가가가속도가 되는 식으로 계속 미분할 수 있다.

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흔히 $F=ma$로 알려진 식의 원형(뉴턴이 프린키피아에 사용한 형태)은 다음과 같다.

$F=\frac{dP}{dt}$

P는 운동량, t는 시간이다. 이는 $F=ma$가 질량이 변하는 상황에 유연히 쓰이지 못하는 한편 질량이 변하는 상황에도 유연히 쓸 수 있게 된 형태이다.

식에서 $d$는 역시 미분이라는 뜻이다. 힘은 순간 동안 운동량이 변한 양과 같다.