삼각형의 넓이를 구하는 8가지 방법

삼각형은 평면 기하에서 매우 기본적인 도형이다. 그만큼 많은 정리들이 있기도 하다. 이 글에서는 이 삼각형의 넓이를 구하는 여러 방법과, 그 증명에 대해 알아본다.

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1. 밑변과 높이를 알 때

$S=\frac{1}{2}ah$

밑변과 높이를 알 때

가장 일반적인 삼각형의 넓이 구하는 방법이다. 증명은 생략한다.

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2. 두 변과 끼인 각을 알 때

$S=\frac{1}{2}ab \sin\theta$

두 변과 끼인 각을 알 때

이때 높이는 $b\sin\theta$이기 때문에 삼각형의 넓이는 (1)의 방법에 따라 $\frac{1}{2}ab\sin\theta$이다.

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3. 정삼각형의 한 변의 길이를 알 때

$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$

정삼각형 한 변의 길이를 알 때

$\triangle ACH$가 $\angle AHC=90^{\circ}$, $\angle ACH=60^{\circ}$, $\angle CAH=30^{\circ}$이므로 삼각형의 특수각에 따라 $\overline{AH}=\frac{\sqrt3}{2}a$이다.

따라서 (1)의 방법에 따라 넓이는 $\frac{\sqrt3}{4}a^2$이다.

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4. 세 변의 길이와 외접원의 반지름을 알 때

$S=\frac{abc}{4R}$

 

세 변의 길이와 반지름을 알 때

사인 법칙에 따라 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$이다.

따라서 $\sin A=\frac{a}{2R}$이므로 (2)의 방법에 따라 넓이는 $\frac{1}{2}cb \times \frac{a}{2R}$$=\frac{abc}{4R}$이다.

 

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5. 세 변의 길이와 내접원의 반지름을 알 때

$S=\frac{r}{2}(a+b+c)$

세 변의 길이와 내접원의 반지름을 알 때

원 O는 내접원이므로 선분 AB, BC, CA는 원 O의 접점이다. 따라서 (1)에 따라 다음과 같이 각 삼각형의 넓이를 표현할 수 있다.

$\triangle ABO=\frac{1}{2}rc$

$\triangle BCO=\frac{1}{2}ra$

$\triangle CAO=\frac{1}{2}rb$

또한 $\triangle ABO+\triangle BCO + \triangle CAO=\triangle ABC$이므로 위의 식을 모두 더하고, 정리하여 전체 삼각형의 넓이를 구하면 다음과 같다.

$\triangle ABC=\frac{r}{2}(a+b+c)$

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6. 세 변의 길이를 알 때(헤론의 공식)

$s=\frac{a+b+c}{2}$일때 넓이 $S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

세 변의 길이를 알 때

$\sin^2 C=(1-\cos^2 C)$ ($\because$ 삼각함수의 특징 $\sin^2 A+\cos^2 A=1$에서)

$\sin^2 C=(1+\cos C)(1-\cos C)$

$\sin^2 C=\left(1+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)\left(1-\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)$ ($\because$ 제2 코사인 법칙에 따라 $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$)

$\sin^2 C=\left(\frac{2ab+(a^2+b^2-c^2)}{2ab}\right)\left(\frac{2ab-(a^2+b^2-c^2)}{2ab}\right)$

$\sin^2 C=\left(\frac{(a+b)^2-c^2}{2ab}\right)\left(\frac{c^2-(a-b)^2}{2ab}\right)$

$\sin^2 C=\frac{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}{(2ab)^2}$

$\sin C=\frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}{2ab}$

$2s=a+b+c$로 치환하면

$\sin C=\frac{\sqrt{16(s)(s-c)(s-b)(s-a)}}{2ab}$

$\sin C=\frac{4\sqrt{(s)(s-c)(s-b)(s-a)}}{2ab}$

$\sin C=\frac{2\sqrt{(s)(s-c)(s-b)(s-a)}}{ab}$

이 식을 (2)번 방법에 이용하면

$\frac{1}{2}ab\sin C$$=\frac{1}{2}ab \frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{ab}$

따라서 삼각형의 넓이는 $s=\frac{a+b+c}{2}$일 때 $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$이다.

참고로 네 변의 길이가 $a,b,c,d$인 원에 내접하는 사각형에 대해 $s=\frac{a+b+c+d}{2}$라고 하면 사각형의 넓이 $S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$이다. 이 공식을 브라마굽타 공식이라고 하며, 헤론의 공식을 브라마굽타 공식의 특수한 경우로 생각할 수 있다.

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7. 세 꼭짓점의 좌표를 알 때(가우스의 면적 공식)

꼭짓점이 $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$, $C(x_3,y_3)$인 삼각형의 넓이는

$\begin{vmatrix}x_1 & x_2 & x_3 & x_1 \\ y_1 & y_2 & y_3 & y_1\end{vmatrix}$에서 왼쪽 사선으로 곱한 값을 더하고, 오른쪽 사선으로 곱한 값을 빼면 삼각형의 넓이는 $\frac{1}{2}\left| (x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1)-(x_2y_1+x_3y_2+x_1y_3)\right|$이다.

세 꼭짓점의 좌표를 알 때

이 공식의 유도에는 벡터 연산이 포함되며, 이는 이 블로그의 범위에서 벗어난다. 따라서 증명은 생략한다.

참고로 이 공식은 변끼리 교차하지 않는 모든 좌표평면상의 다각형에 대해 성립한다.

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8. 세 꼭짓점이 모두 정수점일 때(픽의 정리)

도형 내부에 있는 격자점의 개수를 $A$, 둘레 위에 있는 격자점의 개수를 $B$라고 하면 삼각형의 넓이 $S=A+\frac{B}{2}-1$이다.

이는 꼭 삼각형이 아니라 꼭짓점의 좌표가 정수점인 모든 다각형에 대해 성립한다.

세 꼭짓점의 좌표가 모두 정수인 경우

우선 다음과 같이 문자를 잡자.

종류	내부에 있는	둘레 위에 있는	전체
꼭짓점(Vertex)	$v_i$	$v_o$	$v$
변(Edge)	$e_i$	$e_o$	$e$
면(Face)	-	-	$f$

이때 다음 두 식은 참이다.

$3f=v_o+3v_i$

: 주어진 도형을 정수점을 이용해 삼각형으로 쪼갤 때 전체 꼭짓점의 개수는 $v_o+3v_i$이다. 이때 도형 안에 점에 3을 곱한 것은 도형 안의 점은 세 삼각형이 공유하기 때문에 세 번 세야 하기 때문이다. 전체 꼭짓점의 개수를 3으로 나누면 전체 분할된 삼각형의 개수가 된다.

$3f=e_o+2e_i$

: 주어진 도형을 정수점을 이용해 삼각형으로 쪼갤 때 전체 변의 개수는 $e_o+2e_i$이다. 이때 도형 안에 변에 2을 곱한 것은 도형 안의 변은 두 삼각형이 공유하기 때문에 두 번 세야 하기 때문이다. 전체 변의 개수를 3으로 나누면 전체 분할된 삼각형의 개수가 된다.

여기서 $3f=e_0+2e_i$를 $e=e_i+e_o$를 이용하여 정리하면 다음과 같다.

$3f=2(e-e_o)+e_o=2e-e_o$

$2e-3f-e_o=0$

$2(e-f)-f-e_o=0$

이제 평면 기하에서 Euler characteristic(이걸 한국어로 뭐라 하는지 모르겠다)인 $v-e+f=1$를 조금 변형한 $e-f=v-1$을 대입하여 정리하면 다음과 같다.

$2(v-1)-f-e_o=0$

여기서 $e_o=v_o$임을 대입하면(둘레이므로 당연하다)

$2v-2-f-v_o=0$

이때 도형 내부에 있는 격자점의 개수 $A=v_i$, 둘레 위에 있는 격자점의 개수 $B=v_o$이므로 이를 대입하면

$2(A+B)-2-B=f$

$f=2A+B-2$

즉, 다각형의 삼각형 개수는 $2A+B-2$이다.

정수점 3개를 이어 만든 최소 단위의 삼각형의 넓이는 자명히 $\frac{1}{2}$이므로 다각형의 전체 넓이는 $\frac{1}{2}f$이다. 따라서 다각형의 넓이는 다음과 같다.

$S=A+\frac{B}{2}-1$