지구는 태양 주위를 돈다. 달은 지구 주위를 돌며 빠르게 회전하는 롤러코스터를 타면 몸이 바깥으로 쏠린다.
이는 모두 물체가 원운동을 하며 생기는 현상이다. 이 글에서는 원운동에 대해 알아보겠다.
인덱스 원운동을 하는 이유 원운동의 물리량 구심력과 구심 가속도
1. 원운동을 하는 이유
등속 운동을 하는 물체를 생각해보자. 외력이 주어지지 않는다면 이 물체는 영원히 같은 속도로 움직일 것이다(Fig 1a).
그렇지 않고 물체의 속도와 같은 방향으로 힘이 주어진다면 물체의 속력이 변화할 것이다(Fig 1b).
그것도 아니고 물체의 속도와 다른 방향으로 힘이 주어진다면 물체의 속도가 변화할 것이다(Fig 1c).
Fig1-1 a,b,c 등속운동하는 물체들이 힘을 받는 모습이다.
Fig1-1c를 보면 힘 $\overrightarrow{F}$는 Fig1-2와 같이 수직성분과 수평성분으로 분해될 수 있다.
Fig1-2
$F\rm{cos}\theta$는 물체의 속력을 변화시킬 것이며 $F\rm{sin}\theta$는 방향을 변화시킬 것이다. 아마 이 상태가 계속된다면 물체는 가속도를 받아 직선이 아닌, 곡선으로 운동할 것이다.
만일 $F\rm{cos}\theta$가 없는 경우, 힘은 물체의 운동방향만을 변화시킬 것이며 이 경우 물체는 우리가 익히 알고 있는 원운동을 할 것이다.
이처럼, 이미 등속 직선운동을 하는 물체가 속도의 방향과 평행하지 않게 외력을 받으면 그 힘은 물체의 운동방향을 변화시킬 것이며 이는 결국 물체가 타원 모양의 궤적을 그리는 운동을 하게 해 준다.
2. 원운동의 물리량
원운동에는 여러 새로운 물리량들이 나온다. Fig2-1과 Table2.1을 비교하며 살펴볼 수 있도록 하자.
Fig2-1
Table2-1
이름
기호
단위
설명
반지름
$r$
$\rm{m}$[미터]
원운동의 중심에서 물체까지의 거리이다.
각속도
$\omega$
$\rm{rad/s}$
초당 중심에서 회전하는 각의 크기이다.
각
$\theta$
$\rm{rad}$
중심각이다. $(2\pi)\rm{rad}=(1)바퀴$이다.
선속도
$\overrightarrow{v}$
$\rm{m/s}$
원모양의 궤적에 접하는 방향의 속도이다.
주기
$T$
$\rm{s}$
한바퀴를 회전하는데 걸리는 시간이다.
주파수
$f$
$\rm{Hz, rps}$
1초동안 회전한 바퀴수이다.
다음은 새로운 물리량을 구하는 공식들이다. 유도는 간단히 하겠다.
1. $\omega=\frac{\Delta \theta}{\Delta t}$: 각속도 자체의 의미로 이해할 수 있다.
2. $\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f$: $2\pi \rm{rad}$을 도는데 $T$초가 걸리므로 이를 이용해 초당 $\rm{rad}$ 변화량을 쓸 수 있다.
3. $T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{1}{f}$: 원의 둘레를 $v$로 회전하는데 걸리는 시간이다.
4. $v=r\omega$: 원의 중심에서 얼마나 떨어져 있던 원운동의 주기는 일정하다. 즉, $\frac{v}{r}=\frac{v'}{r'}$이다. 따라서 $v\propto r$임을 알 수 있다. 2번 식과 지금의 비례식을 비교하여 비례상수를 맞춰주면 비례상수가 $\omega$임을 알 수 있다.
3. 구심력과 구심 가속도
앞서 우리는 원운동을 일으키는 주체가 외력, 그중에서도 물체의 속도와 수직 한 방향의 힘임을 알았다. 원운동에서는 이 힘을 구심력(Centripetal Force)라고 한다. 또한 구심력에서 생기어 물체의 운동방향을 바꾸어주는 가속도를 구심 가속도(Centripetal Acceleration)이라고 한다.
이제부터는 원운동에서 구심 가속도를 유도해보겠다. 편의상 등속 원운동(접선방향의 속도의 크기가 일정한 원운동)으로 가정하겠다
Fig3-1
Fig3-1은 등속 원운동에서 여러 속도를 나타낸 것이다. 파란색 벡터는 각각 $t$초 후의 속도 변화이며 노란색 벡터는 두 파란색 벡터를 빼는 단계, 초록색 벡터는 $t$초동안의 속도 변화량이다.
가속도 $a=\lim_{t\rightarrow0}{\frac{\Delta \overrightarrow{v}}{t}}$이므로 우리는 극히 짧은 시간 동안 초록색 벡터의 크기를 구하면 되는 것이다.
Fig3-2
Fig3-2와 같이 두 개의 속도 벡터를 빼어 속도의 차를 구해보자. $\left | \overrightarrow{v} \right |=\left | \overrightarrow{-v_0} \right |=v$이므로 코사인 법칙에 따라 $(\Delta v)^2=v^2+v^2-v^2\rm{cos}\theta$, $\Delta v=\sqrt{2}v\sqrt{1-\rm{cos}\theta}$일 것이다.
그럼 가속도 $a=\frac{\Delta \overrightarrow{v}}{\Delta t}=\frac{\sqrt{2}v\sqrt{1-1\rm{cos}\theta}}{t}$이다. $t=\frac{\theta}{\omega}$이므로 이를 대입하면 $a=\frac{\sqrt{2}v\omega\sqrt{1-1\rm{cos}\theta}}\theta$이다.
만일 $\Delta t$가 0에 수렴한다면 $\theta$도 0에 수렴할 것이다. 찰나의 순간에는 두 벡터의 방향이 사실상 같기 때문이다. 따라서 $a=\lim_{t\rightarrow0}{\frac{\Delta \overrightarrow v}{\Delta t}}$은 $a=\lim_{\theta\rightarrow0}{\frac{\sqrt{2}v\omega\sqrt{1-\rm{cos}\theta}}{\theta}}$과 같은 의미일 것이다.
여기서 $\rm{sin}^2\theta+\rm{cos}^2\theta=1$을 이용하기 위해 분모, 분자에 $\sqrt{1+\rm{cos}\theta}$을 곱해서 정리하면 $a=\frac{\sqrt{2}v\omega\rm{sin}\theta}{\theta\sqrt{1+\rm{cos}\theta}}$가 된다.
$\theta$가 $0$에 수렴하므로 $\lim_{\theta\rightarrow0}{\frac{\rm{sin}\theta}{\theta}}=1$, $\lim_{\theta\rightarrow0}{\rm{cos}\theta}=1-\frac{\theta^2}{2}$라고 근사할 수 있다. 따라서 다음과 같이 극한을 풀 수 있다. $a=\lim_{\theta\rightarrow0}{\frac{\sqrt{2}v\omega\rm{sin}\theta}{\theta\sqrt{1+\rm{cos}\theta}}}$$=\sqrt{2}v\omega\lim_{\theta\rightarrow0}\frac{\rm{sin}\theta}{\theta}\frac{1}{\sqrt{1+\rm{cos}\theta}}$$=v\omega$이다. 따라서 구심가속도 $a=\omega v$이다. 여기서 $\omega=\frac{v}{r}$를 이용해 한번 더 정리하면 구심가속도 $a=\frac{v^2}{r} \rm{m/s^2}$이며 $v=r\omega$를 이용해서 정리하면 구심가속도 $a=(r\omega^2)\rm{m/s^2}$이다.
한편, $\theta$가 0에 수렴할 시 $\Delta \overrightarrow v$는 원의 중심을 향할 것이다(접선방향 속도에 수직인 성분이므로).
구심 가속도를 구하는 과정은 알아두면 좋겠다만 외울 것까지는 없다고 생각한다. 다만, 가속도의 방향과 크기
($a=r\omega^2=\frac{v^2}{r}$)은 꼭 알아두자.
이제 구심 가속도를 알았으니 구심력도 구할 수 있다. $F=ma$에서 시작한다.
구심력 $F=m\frac{v^2}{r}=mr\omega^2$
이 되겠다.
여기서 유의할 점은 구심력은 사실은 허상의 힘이다. 이게 무슨 말이냐, 이 세상에 구심력이라는 힘이 있는 것이 아니고 어떠한 힘이든 구심력의 노릇을 할 수 있는 것이다. 태양을 공전하는 지구에서 구심력은 만유인력일 것이며 실에 매달려 원운동을 하는 물체의 구심력은 장력일 것이다. 이렇듯, 구심력은 원운동을 설명하기 위한 가상의 힘이지 사실 그 본질은 다른 곳에 있으며 따라서 합력을 구할 때 구심력을 포함해서는 안 된다.
같은 원리로 원심력 또한 합력을 구할 때 포함해서는 안된다. 원심력의 본질을 살펴보면 물체가 원운동을 하며 원의 중심으로 구심가속도를 받아 그에 따른 정지관성의 모습으로 나타나는 것이다. 방향은 당연히 구심가속도의 반대방향인, 원을 나가는 방향이다. 원심력또한 원운동 하는 물체의 운동을 해석하기 위해 만든 가상의 힘이므로 합력을 계산할 때 포함해서는 안된다.
원심력은 구심력의 정지관성이며 둘 모두 가상의 힘이므로 합력을 구할때는 포함하지 않는다.
이번글에서는 등속원운동의 개념부터 구심가속도와 구심력을 구하는 방법에 대해 다루어 보았다.
