피보나치수열은 초등학생도 흔히 접하는 매우 간단한 형태의 수열이다.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 ...
피보나치수열을 수학적으로 쓰면 다음과 같다.
초기 조건: ,
점화식: ()
이 정도면 피보나치수열을 사용하는 데는 부족함이 없지만 큰 피보나치수, 가령 을 계산하기엔 노가다가 심하다.
따라서 이번에는 피보나치수열의 일반항을 구해볼 것이다.
이 글을 읽기 전 동차점화식의 일반항을 먼저 읽어주세요! 이 글에서는 해당 개념을 응용할 것입니다.
항 3개를 사용하는 동차점화식의 일반형은 다음과 같다.
따라서 피보나치수열은 여기서 인 형태로 볼 수 있다.
얘를 가지고 우변을 이항해서 =0 꼴을 만들면 다음과 같다.
이 식을 특성방정식으로 만들어서 근의 공식으로 근을 구하면 다음과 같다.
두 근=
두 근이 다르니까 일반항의 공식 에 대입해서 일반항을 구하면 다음과 같다.
이제 초기조건을 대입해서 와 을 계산하면 된다.
→
→
두 경우에서 나온 식을 각각 정리해서 연립방정식의 형태로 쓰면 다음과 같다.
두 식을 빼주면 이 된다. 이 결과와 이를 이항한 를 위의 두 식중 하나에 대입해서 한 개의 문자로 정리하면 다음과 같다.
,
를 아니까 까지 구할수 있다. 두 문자의 값을 앞선 점화식에 대입하면 다음과 같다.
따라서 피보나치수열의 일반항은 다음과 같다.
이번 글에서는 동차점화식의 일반항에서 다룬 내용을 실제로 피보나치수열에 적용한 것으로 거듭 말하지만 우선 동차점화식의 일반항 글을 이해하는 것이 중요하다.
참고로 피보나치수열의 일반항을 알아둘 필요는 없다. 정말 쓸데없다. 앞에서 큰 수의 피보나치 값을 계산하기 힘들어서 일반항을 만들었다고 했는데, 일반항에도 제곱이 들어가 있어 계산이 복잡한 건 마찬가지이다. 그냥 이런 것도 있다는 정도만 알아두자.
위의 일반항으로 구한 의 값은 "12586269025"이다.
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