카탈랑수

카탈란 수의 점화식

다음 글 이 글의 마지막 부분에서 카탈란 수는 (0, 0)에서 (n, n)까지 $y=x$ 그래프보다 위에 있는 점을 통과하지 않고, 격자점만을 지나며 이동하는 경우의 수라고 하였다. 카탈란 수는 다음 일반항으로 정의되는 수열이다. $C_n=\frac{1}{n+1}{}_{2n}\mathrm{C}_n$ 이 일반항이 어떻게 유도되었는지는 이전 글을 찾아보기 바란다. 이번에는 이 수열의 성질을 응용하는데 초점을 맞출 것이다. 카탈란 수는 다음 점화식을 가지고 있다. $C_{n+1}$$=\displaystyle\sum_{i+j=n}C_i C_j$$=C_0C_n+C_1C_{n-1}$$+\cdots $$+C_{n-1}C_1+C_nC_0$ 이는 카탈란 수가 경로의 수 문제와 대응됨을 생각하면 어렵지 않게 설명할 수 있..