입체

구의 부피를 어떻게 구할까?

중학교 1학년에서는 다음과 같이 구의 부피와 겉넓이를 구하는 방법을 배워요. 반지름이 $r$인 구에 대해 그것의 부피는 $\frac{4}{3}\pi r^3$이며, 겉넓이는 $4\pi r^2$이다. 교과서에서는 이것에 대한 수학적 증명 대신 물을 이용해 실험적으로 부피를 구하여 이것이 공식의 값과 매우 근사함을 보여요. 하지만 이런 증명은 전혀 수학적이지 않지요. 이번에는 중학교 수준에서 구의 부피와 겉넓이를 구하는 방법을 알아볼 거예요. 핵심 아이디어. 카발리에리의 원리 두 평행선 $l$과 $m$이 있고 두 꼭짓점은 $l$ 위에, 다른 한 꼭짓점은 $m$ 위에 있는 삼각형 $\triangle \mathrm{ABC}$를 생각해봐요. 이제 직선 $l$, $m$은 가만히 두고 $\mathrm{A}$를 움직여봐..

3차원을 2차원으로 옮기기 - Abstract

여기 정육면체가 있다. 일상적으로 접하기 때문에 그냥 그러려니 하게 보이지만 사실 여기엔 생각해볼 것이 있다. 바로 3차원을 2차원의 모니터를 통해 보고 있는 점이다. 입체에서 (1, 1, 1)의 점은 평면에서 어느 점에 해당할까? 만약 시점이 바뀌면 이 점은 어떻게 움직일까? 이는 생각해볼 만한 문제이다. 나는 마인크래프트(Minecraft)라는 게임을 즐겨하는데, 이 게임은 정육면체 블록으로 모든 세상이 이루어져 있다. 게임이라는건 시점을 돌리면 옆의 모습이 보이고, 앞으로 다가가면 더 크게 보이며, 멀리 떨어지면 더 작게 보여야 한다. 실제 세계에서는 이러한 과정이 빛의 광학적 성질에 의해 자동으로 처리되지만 컴퓨터 게임에서는 그렇지 않다. 모든 것이 수학적으로 정해진 방법에 따라 연산되고, 렌더링..